Ваня закрасил в квадрате 6´6 несколько клеток. После этого оказалось, что во всех квадратиках 2´2 закрашено одинаковое количество клеток; и во всех полосках 1´3 тоже закрашено одинаковое количество клеток. Докажите, что старательный Ваня закрасил все клетки.

Пошаговое объяснение:

Пусть в каждом квадратике 2×2 закрашено m клеток, а в каждой полоске 1×3 – n клеток. Поскольку квадрат 6×6 разбивается на 9 квадратиков, то всего закрашено 9m клеток. Аналогично получаем, что всего закрашено 12n клеток. Значит,  9m = 12n,  то есть  3m = 4n.  Но  0 < m ≤ 4,  0 < n ≤ 3,  поэтому  m = 4,  n = 3,  что и требовалось.