Войти Регистрация Спроси ai-bota

Решить неопределенный интеграл

Решить неопределенный интеграл

Ответ:

KaRaIcHiTaN

07.02.2021 21:35

$\int\limits \frac{dx}{5 + 4 \sin(x) } \\$

Тригонометрическая замена:

$\sin(x) = \frac{2t}{1 + {t}^{2} } \\ dx = \frac{2dt}{1 + {t}^{2} } \\ t = tg( \frac{x}{2} )$

$\int\limits \frac{2dt}{1 +{t}^{2} } \times \frac{1}{5 + \frac{8t}{1 +{t}^{2} } } = \\ =\int\limits \frac{ 2dt }{1 + {t}^{2} } \times \frac{1 + {t}^{2} }{5 + 5 {t}^{2} + 8t} = \\ =2 \int\limits \frac{dt}{5 + 8t +5 {t}^{2} }$

выделим в знаменателе квадрат суммы/разности:

$5 + 8 t+5 {t}^{2} = \\ = {( \sqrt{5}t) }^{2} +2 \times \sqrt{5} t \times \frac{4}{ \sqrt{5} } + \frac{16}{5} + \frac{9}{5} ) = \\ = {( \sqrt{5}t + \frac{4}{ \sqrt{5} } ) }^{2} + {( \frac{ 3 }{ \sqrt{5} } )}^{2} =$

получаем:

$2\int\limits \frac{dt}{ {( \sqrt{5}t + \frac{4}{ \sqrt{5} } ) }^{2} + {( \frac{ 3 }{ \sqrt{5} } )}^{2} } = \frac{2}{ \sqrt{5} } \int\limits \frac{ d( \sqrt{5}t + \frac{4}{ \sqrt{5} } )}{ {( \sqrt{5}t + \frac{4}{ \sqrt{5} } ) }^{2} + {( \frac{ 3 }{ \sqrt{5} } )}^{2} } = \\ = \frac{2}{ \sqrt{5} } \times \frac{ \sqrt{ 5} } {3} arctg( \frac{\sqrt{5}t+\frac{4}{\sqrt{5}}}{\frac{3}{\sqrt{5}}}) + C= \\ = \frac{ 2 } {3} arctg( \frac{5t+4}{3}) + C=\\=\frac{ 2 } {3} arctg( \frac{5tg(\frac{x}{2})+4}{3}) + C=\\=$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

aimnura73

06.03.2020 22:59

Чтобы оградить садовый участок площадью 81 м квадрате закупили доски шириной 30 см сколько потребуется досок если ширина участка 9 м? ! ...

SevenDays7

06.03.2020 22:59

Укажите запись, в которой делитель заменили произведением для вычисления 560: 80. выберите один ответ: 560 : (8 x 10) 560 : (40 x 2) (80 x 70) : 80 560 : (20 x 4)...

itskova310181

06.03.2020 22:59

Найдите острый угол между бесектрисами углов а и б в треугольнике абс, если угол а =50 градусов, угол с=40 градусов...

kdgsteam

25.08.2021 11:30

Статистика расчета дисперсии: выберите один ответ моментов b)аналитическое выравнивание c)метод укрупнения интервалов d)метод скользящей средней 2)выберите графического изображения...

goe1

30.11.2020 13:33

На рулоне обоев написано,длина полотна обоев отличается от номинальной не более чем на 0,5% . номинальная длина полотна ровна 10 м . какую длину не может иметь полотно при этом...

Андрей3482

08.10.2020 11:03

Маса гарбуза 12 кг ,а кабачка у 4 раза менша. на скільки кг більша маса гарбуза ,ніж маса ...

isadulla

30.11.2020 13:33

Какие из перечисленных чисел меньше чем 3,53 3,429 3,517 3,525 -3,43 3,542 3,536 3,633...

Beario

30.11.2020 13:33

100-1 3/5=? никак не пойму, как из целого числа отнять смешанную дробь. забыл правило. и объясните ...

Гульдана111

02.06.2021 20:01

252. решите уравнения: 1) 7x_ 49155x...

karolina85

02.06.2021 20:01

Найдите наибольший общий делитель чисел перебора делителей 30 и 42 36 и 63 27 и 54 80 и 32...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку