Как изменятся выборочные среднее и дисперсия, если результаты наблюдения подвергнуть преобразованию масштаба, т.е. увеличить или уменьшить одновременно в k раз?
Если результаты наблюдений подвергнуть преобразованию масштаба, т.е. увеличить или уменьшить одновременно в k раз, то выборочное среднее и дисперсия также изменятся.
1. Выборочное среднее:
Выборочное среднее (X̄) вычисляется как сумма всех наблюдений (X) деленная на количество наблюдений (n):
X̄ = (X₁ + X₂ + ... + Xₙ) / n
Предположим, что все наблюдения были увеличены (или уменьшены) в k раз. Это означает, что каждое наблюдение будет умножено на k:
kX̄ = (kX₁ + kX₂ + ... + kXₙ) / n
Затем можно заметить, что можно вынести k за скобки:
kX̄ = k(X₁ + X₂ + ... + Xₙ) / n
Поскольку X̄ является исходной суммой наблюдений (X), то:
kX̄ = k(X₁ + X₂ + ... + Xₙ) / n = k(X̄) = X̄ * k
Таким образом, выборочное среднее увеличится (или уменьшится) в k раз после преобразования масштаба.
2. Дисперсия:
Дисперсия (s²) определяется как среднее значение квадратов отклонений каждого наблюдения от среднего значения:
s² = Σ (X - X̄)² / (n - 1)
Подставляем значение X̄ из предыдущего шага и умножаем каждое наблюдение на k:
s² = Σ (kX - kX̄)² / (n - 1)
Раскрываем скобки и выносим k² за знак суммы, так как каждое слагаемое имеет одинаковый коэффициент k:
s² = Σ (k²X² - 2kX̄ + k²X̄²) / (n - 1)
Теперь замечаем, что k² можно вынести за знак суммы, так как каждое слагаемое содержит этот множитель:
s² = k² * Σ (X² - 2X̄ + X̄²) / (n - 1)
Поскольку Σ (X² - 2X̄ + X̄²) может быть переписано как Σ (X² - 2X̄X + X̄²), это можно преобразовать:
s² = k² * Σ (X - X̄)² / (n - 1)
Снова замечаем, что Σ (X - X̄)² является исходной дисперсией s². Таким образом, дисперсия также изменится в квадрате коэффициента преобразования масштаба:
s² = k² * s²
Таким образом, дисперсия увеличится в k² раз после преобразования масштаба.
Итак, для выборочного среднего и дисперсии, если результаты наблюдения подвергнутся преобразованию масштаба, т.е. увеличены или уменьшены одновременно в k раз, то выборочное среднее увеличится (или уменьшится) в k раз, а дисперсия увеличится в квадрате k.
1. Выборочное среднее:
Выборочное среднее (X̄) вычисляется как сумма всех наблюдений (X) деленная на количество наблюдений (n):
X̄ = (X₁ + X₂ + ... + Xₙ) / n
Предположим, что все наблюдения были увеличены (или уменьшены) в k раз. Это означает, что каждое наблюдение будет умножено на k:
kX̄ = (kX₁ + kX₂ + ... + kXₙ) / n
Затем можно заметить, что можно вынести k за скобки:
kX̄ = k(X₁ + X₂ + ... + Xₙ) / n
Поскольку X̄ является исходной суммой наблюдений (X), то:
kX̄ = k(X₁ + X₂ + ... + Xₙ) / n = k(X̄) = X̄ * k
Таким образом, выборочное среднее увеличится (или уменьшится) в k раз после преобразования масштаба.
2. Дисперсия:
Дисперсия (s²) определяется как среднее значение квадратов отклонений каждого наблюдения от среднего значения:
s² = Σ (X - X̄)² / (n - 1)
Подставляем значение X̄ из предыдущего шага и умножаем каждое наблюдение на k:
s² = Σ (kX - kX̄)² / (n - 1)
Раскрываем скобки и выносим k² за знак суммы, так как каждое слагаемое имеет одинаковый коэффициент k:
s² = Σ (k²X² - 2kX̄ + k²X̄²) / (n - 1)
Теперь замечаем, что k² можно вынести за знак суммы, так как каждое слагаемое содержит этот множитель:
s² = k² * Σ (X² - 2X̄ + X̄²) / (n - 1)
Поскольку Σ (X² - 2X̄ + X̄²) может быть переписано как Σ (X² - 2X̄X + X̄²), это можно преобразовать:
s² = k² * Σ (X - X̄)² / (n - 1)
Снова замечаем, что Σ (X - X̄)² является исходной дисперсией s². Таким образом, дисперсия также изменится в квадрате коэффициента преобразования масштаба:
s² = k² * s²
Таким образом, дисперсия увеличится в k² раз после преобразования масштаба.
Итак, для выборочного среднего и дисперсии, если результаты наблюдения подвергнутся преобразованию масштаба, т.е. увеличены или уменьшены одновременно в k раз, то выборочное среднее увеличится (или уменьшится) в k раз, а дисперсия увеличится в квадрате k.