Являются ли верными записанные соотношения? ответ обоснуйте, используя одно из определений сравнения по модулю. а) 123 ≡ 13(mod 11) б) − 82 ≡ 8 (mod 10) в) −37 ≡ −5 (mod 7)

Для решения данного вопроса, первым делом нам необходимо разобраться с определением сравнения по модулю.

Определение:

Два числа а и b считаются сравнимыми по модулю m, если их разность a - b делится нацело на m, то есть, если существует целое число k такое, что (a - b) = k*m.

Теперь рассмотрим каждый вариант и посмотрим, являются ли данные записи верными:

а) 123 ≡ 13 (mod 11):

Для проверки данного соотношения, мы можем вычислить остаток от деления 123 на 11 и остаток от деления 13 на 11.

123 mod 11 = 3
13 mod 11 = 2

В данном случае, остатки не совпадают, то есть, 123 и 13 не сравнимы по модулю 11. Следовательно, данная запись неверна.

б) -82 ≡ 8 (mod 10):

Аналогично предыдущему примеру, мы можем вычислить остаток от деления -82 на 10 и остаток от деления 8 на 10.

-82 mod 10 = -2
8 mod 10 = 8

В данном случае, остатки совпадают, то есть, -82 и 8 сравнимы по модулю 10. Поэтому данная запись является верной.

в) -37 ≡ -5 (mod 7):

Аналогично предыдущим примерам, мы можем вычислить остаток от деления -37 на 7 и остаток от деления -5 на 7.

-37 mod 7 = -2
-5 mod 7 = -5

В данном случае, остатки не совпадают, то есть, -37 и -5 не сравнимы по модулю 7. Следовательно, данная запись неверна.

Итак, после анализа каждого варианта, мы можем сделать выводы:

а) Запись 123 ≡ 13 (mod 11) - неверная
б) Запись -82 ≡ 8 (mod 10) - верная
в) Запись -37 ≡ -5 (mod 7) - неверная