Чтобы найти общий вид первообразной для функции f(x) = 2x^2 + 3/x^4 + √x + 2 на интервале (0; +бесконечность), мы должны воспользоваться определением первообразной и соответствующими правилами интегрирования.
Для начала разобьем функцию на несколько частей, так как каждое слагаемое будет интегрироваться по отдельности:
f(x) = 2x^2 + 3/x^4 + √x + 2
Интегрируем первое слагаемое 2x^2 по отдельности:
∫(2x^2) dx
Чтобы интегрировать это выражение, мы будем использовать правило степенной функции для интеграла:
∫(x^n) dx = (x^(n+1))/(n+1)
Применяя это правило, получим:
∫(2x^2) dx = (2 * (x^(2+1)) / (2+1)
Упрощая выражение, получаем:
∫(2x^2) dx = (2/3) * x^3
Затем интегрируем второе слагаемое 3/x^4. Для этого используем правило для интеграла x^n:
∫(x^n) dx = (x^(n+1))/(n+1)
Применяя это правило, получаем:
∫(3/x^4) dx = 3 * (x^(-4+1))/(-4+1)
Упрощаем выражение:
∫(3/x^4) dx = -3/4 * x^(-3)
Теперь интегрируем третье слагаемое √x. Для этого используем формулу:
∫√x dx = (2/3) * x^(3/2)
И, наконец, интегрируем последнее слагаемое 2. Это константа, поэтому:
∫2 dx = 2x
Теперь объединим все полученные результаты:
Итак, общий вид первообразной для функции f(x) = 2x^2 + 3/x^4 + √x + 2 на интервале (0; +бесконечность) будет:
Для начала разобьем функцию на несколько частей, так как каждое слагаемое будет интегрироваться по отдельности:
f(x) = 2x^2 + 3/x^4 + √x + 2
Интегрируем первое слагаемое 2x^2 по отдельности:
∫(2x^2) dx
Чтобы интегрировать это выражение, мы будем использовать правило степенной функции для интеграла:
∫(x^n) dx = (x^(n+1))/(n+1)
Применяя это правило, получим:
∫(2x^2) dx = (2 * (x^(2+1)) / (2+1)
Упрощая выражение, получаем:
∫(2x^2) dx = (2/3) * x^3
Затем интегрируем второе слагаемое 3/x^4. Для этого используем правило для интеграла x^n:
∫(x^n) dx = (x^(n+1))/(n+1)
Применяя это правило, получаем:
∫(3/x^4) dx = 3 * (x^(-4+1))/(-4+1)
Упрощаем выражение:
∫(3/x^4) dx = -3/4 * x^(-3)
Теперь интегрируем третье слагаемое √x. Для этого используем формулу:
∫√x dx = (2/3) * x^(3/2)
И, наконец, интегрируем последнее слагаемое 2. Это константа, поэтому:
∫2 dx = 2x
Теперь объединим все полученные результаты:
Итак, общий вид первообразной для функции f(x) = 2x^2 + 3/x^4 + √x + 2 на интервале (0; +бесконечность) будет:
F(x) = (2/3) * x^3 - 3/4 * x^(-3) + (2/3) * x^(3/2) + 2x + C
где C - произвольная постоянная, которую необходимо добавить при интегрировании.