Исследовать функцию и построить её график y=x^3/x^2+x-6

Решение задачи:

Область определения: вся числовая ось.

1) Найдем точки пересечения с осью координат X (то есть с осью абсцисс). Для этого переменную y приравняем к нулю: y = 0.

x^3 – 6 * x^2 = 0.

Вынесем x^2 за скобку:

x^2 * (x – 6) = 0;

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

x^2 = 0 или x – 6 = 0;

x = 0 или x = 6.

Точки (0; 0), (6; 0) – точки пересечения с осью 0X.

2) График функции пересекает ось ординат, когда x = 0.

y = 0^3 – 6 * 0^2;

y = 0.

Точка (0; 0) – точка пересечения с осью 0Y.

3) Для нахождения экстремумов функции необходимо найти производную и приравнять ее к нулю.

y’ = (x^3 – 6 * x^2)’ = 0;

3 * x^2 – 12 * x = 0;

x = 0 или x = 4.

y(0) = 0.

y(4) = - 32.

(0; 0) и (4; - 32) – экстремумы функции.

4) Проверка на четность (нечётнос ть):

y(- x) = (- x)^3 – 6 * (- x)^2 = - x^3 – 6 * x.

Следовательно, функция ни четная ни нечетная.

5) Функция убывает на промежутках: ( - оо; 0] и [4; + оо).

Убывает на [0; 4].

6) Точки перегиба:

y’’ = 0;

(x^3 – 6 * x^2)’’ = 0;

6 * x – 12 = 0;

x = 2 – точка перегиба.

Функция вогнута на [2; + оо) и выгнута на (- оо; 2].

Пошаговое объяснение:

Всего хорошего, бро