В
Все
Х
Химия
В
Видео-ответы
А
Алгебра
Г
Геометрия
О
ОБЖ
Д
Другие предметы
У
Українська література
Р
Русский язык
Б
Беларуская мова
У
Українська мова
Э
Экономика
Ф
Физика
М
Математика
Ф
Французский язык
Г
География
И
Информатика
М
МХК
О
Окружающий мир
П
Психология
Н
Немецкий язык
О
Обществознание
П
Право
И
История
М
Музыка
Л
Литература
Қ
Қазақ тiлi
Б
Биология
А
Английский язык
Alya9let
Alya9let
20.01.2023 16:13 •  Математика

Вычислите определенные интегралы, используя замену переменной.


Вычислите определенные интегралы, используя замену переменной.

Ответ:
Гововрв
Гововрв
20.01.2021 21:07

замена:

{e}^{x} - 1 = t \\ {e}^{x} = t + 1 \\ {e}^{x} dx =dt \\dx = \frac{dt}{ {e}^{x} } = \frac{dt}{t + 1} \\ t1 = {e}^{ ln(2) } - 1 =2 - 1 = 1 \\ t2 = {e}^{0} - 1 = - 1

\int\limits \frac{ \sqrt{t} dt}{t + 1} \\

делаем еще одну замену:

\sqrt{t} = u \\ t = {u}^{2} \\ dt = 2udu

Замену переменных делать не будем, так как один из пределов равен корню из (-1). В Полученный интеграл подставим все замены и тогда найдем численное решение.

\int\limits \frac{u \times 2udu}{ {u}^{2} + 1 } = 2\int\limits \frac{ {u}^{2} }{ {u}^{2} + 1} du = \\ = 2\int\limits \frac{ {u}^{2} + 1 - 1 }{ {u}^{2} + 1} du = \\ = 2\int\limits \: du - 2\int\limits \frac{du}{ {u}^{2} +1 } = \\ = 2u - 2arctg(u) + C= \\ = 2(u - arctg(u)) + c=2(\sqrt{{e}^{x}-1}-arctg(\sqrt{{e}^{x}})+C

подставляем пределы:

2(1-arctg(\sqrt{1})-(0-arctg({\sqrt{-1}}))=\\=2(1-\frac{\pi}{4})=2-\frac{\pi}{2}

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?