Найди площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x)=x2, прямыми y=0, x=1 и x=4. ответ (вводи в виде сокращённой дроби; если получается целое число, в знаменателе пиши 1):
Для решения этой задачи, сначала нам нужно определить пределы интегрирования для нахождения площади криволинейной трапеции.
Мы знаем, что кривая f(x)=x^2 ограничена прямыми y=0, x=1 и x=4. Для определения пределов интегрирования, мы должны найти точки пересечения кривой с этими прямыми.
Начнем с прямой y=0. Чтобы найти точку пересечения с этой прямой, мы приравниваем y к 0 и решаем уравнение:
0 = x^2
Когда x^2 равно 0, это означает, что x должно быть равно 0. Таким образом, точка пересечения кривой с прямой y=0 - это (0, 0).
Теперь найдем точки пересечения кривой с прямой x=1. Подставим x=1 в уравнение кривой:
f(1) = 1^2 = 1
Таким образом, первая точка пересечения кривой с прямой x=1 - это (1, 1).
Наконец, найдем точку пересечения кривой с прямой x=4:
f(4) = 4^2 = 16
Таким образом, точка пересечения кривой с прямой x=4 - это (4, 16).
Теперь мы знаем, что мы должны интегрировать функцию f(x)=x^2 в пределах от x=1 до x=4 для нахождения площади криволинейной трапеции.
Мы знаем, что кривая f(x)=x^2 ограничена прямыми y=0, x=1 и x=4. Для определения пределов интегрирования, мы должны найти точки пересечения кривой с этими прямыми.
Начнем с прямой y=0. Чтобы найти точку пересечения с этой прямой, мы приравниваем y к 0 и решаем уравнение:
0 = x^2
Когда x^2 равно 0, это означает, что x должно быть равно 0. Таким образом, точка пересечения кривой с прямой y=0 - это (0, 0).
Теперь найдем точки пересечения кривой с прямой x=1. Подставим x=1 в уравнение кривой:
f(1) = 1^2 = 1
Таким образом, первая точка пересечения кривой с прямой x=1 - это (1, 1).
Наконец, найдем точку пересечения кривой с прямой x=4:
f(4) = 4^2 = 16
Таким образом, точка пересечения кривой с прямой x=4 - это (4, 16).
Теперь мы знаем, что мы должны интегрировать функцию f(x)=x^2 в пределах от x=1 до x=4 для нахождения площади криволинейной трапеции.
S = ∫[1,4] x^2 dx
Давайте найдем интеграл:
∫[1,4] x^2 dx = [x^3/3] from 1 to 4
= (4^3/3) - (1^3/3)
= (64/3) - (1/3)
= 63/3
= 21
Ответ: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x)=x^2, прямыми y=0, x=1 и x=4, равна 21.