Чтобы рассадить 30 человек по 10 в каждый из трех вагонов, мы можем использовать комбинаторный метод под названием "метод деления на группы".
В этом случае мы должны выбрать 10 человек из 30, чтобы поместить их в первый вагон. Количество способов выбрать 10 человек из 30 можно посчитать с помощью формулы для сочетаний "30 по 10" или C(30, 10).
Формула сочетаний:
C(n, k) = n! / (k!(n-k)!), где n! - факториал числа n.
Аналогично, для каждого из оставшихся двух вагонов, мы должны выбрать по 10 человек из оставшихся после распределения первого вагона, то есть из 20 людей.
Итак, общее количество способов будет равно произведению количества способов каждого шага:
В этом случае мы должны выбрать 10 человек из 30, чтобы поместить их в первый вагон. Количество способов выбрать 10 человек из 30 можно посчитать с помощью формулы для сочетаний "30 по 10" или C(30, 10).
Формула сочетаний:
C(n, k) = n! / (k!(n-k)!), где n! - факториал числа n.
Применяя эту формулу, получим:
C(30, 10) = 30! / (10!(30-10)!)
= 30! / (10! * 20!)
Аналогично, для каждого из оставшихся двух вагонов, мы должны выбрать по 10 человек из оставшихся после распределения первого вагона, то есть из 20 людей.
Итак, общее количество способов будет равно произведению количества способов каждого шага:
C(30, 10) * C(20, 10) * C(10, 10) = (30! / (10! * 20!)) * (20! / (10! * 10!)) * (10! / (10! * 0!))
Теперь давайте посчитаем:
C(30, 10) = 30! / (10!(30-10)!) = 30! / (10! * 20!)
= (30 * 29 * 28 * ... * 3 * 2 * 1) / ((10 * 9 * 8 * ... * 3 * 2 * 1) * (20 * 19 * 18 * ... * 3 * 2 * 1))
Все числа от 2 до 10 в числителе и знаменателе можно сократить:
= (30 * 29 * 28 * 27 * 26 * 25 * 24 * 23 * 22 * 21) / (20 * 19 * 18 * 17 * 16 * 15 * 14 * 13 * 12 * 11)
Теперь найдем значение для C(20, 10) и C(10, 10) по аналогии:
C(20, 10) = C(20, 10) = 20! / (10!(20-10)!) = (20 * 19 * 18 * ... * 3 * 2 * 1) / ((10 * 9 * 8 * ... * 3 * 2 * 1) * (10 * 9 * 8 * ... * 3 * 2 * 1))
= (20 * 19 * 18 * 17 * 16 * 15 * 14 * 13 * 12 * 11) / (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
Наконец, найдем значение для C(10, 10):
C(10, 10) = 10! / (10!(10-10)!) = 1
Теперь, подставим значения обратно в исходное выражение:
C(30, 10) * C(20, 10) * C(10, 10) = (30 * 29 * 28 * 27 * 26 * 25 * 24 * 23 * 22 * 21) / (20 * 19 * 18 * 17 * 16 * 15 * 14 * 13 * 12 * 11) * (20 * 19 * 18 * 17 * 16 * 15 * 14 * 13 * 12 * 11) / (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) * 1
= (30 * 29 * 28 * 27 * 26 * 25 * 24 * 23 * 22 * 21) / (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
Далее производим числовые вычисления:
= 30 * 29 * 28 * 27 * 26 * 25 * 24 * 23 * 22 * 21 / 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
= 265,252,859,812,191,058,636,308,480,000 / 3,628,800
≈ 7,694,598,976
Таким образом, существует около 7,694,598,976 различных способов рассадить 30 человек по 10 в каждый из трех вагонов.