Для определения того, какие функции являются нечетными, мы должны применить определение нечетной функции.
Функция называется нечетной, если для любого значения `x` выполняется равенство `f(-x) = -f(x)`.
Давайте проверим каждую из данных функций по этому определению.
1. Функция `y = x(x+1)/sinx`:
Для проверки заменим `x` на `-x`:
`y = -x(-x+1)/sin(-x)`.
Можем заметить, что `-x(-x+1)` равно `x(x-1)`, так как умножение двух отрицательных чисел даёт положительное число.
Также заметим, что `sin(-x) = -sin(x)`, так как синус является нечетной функцией.
Следовательно, `y` преобразуется следующим образом:
`y = -x(x-1)/-sinx = x(x-1)/sinx`.
Мы видим, что `y` не равно `-y`, поэтому функция `y = x(x+1)/sinx` не является нечетной.
2. Функция `y = x^3tgx`:
Для проверки заменим `x` на `-x`:
`y = (-x)^3tg(-x) = -x^3t(-x)`.
Заметим, что `(-x)^3` равно `-x^3`, так как нечётная степень отрицательного числа даёт отрицательное число.
Также заметим, что `tg(-x) = -tg(x)`, так как тангенс является нечетной функцией.
Поэтому `y` преобразуется следующим образом:
`y = -(-x)^3(-tgx) = -(-x^3)(-tgx) = x^3tgx`.
Мы видим, что `y` равно `-y`, поэтому функция `y = x^3tgx` является нечетной.
3. Функция `y = (x/cosx)+sinx`:
Для проверки заменим `x` на `-x`:
`y = (-x/cos(-x))+sin(-x)`.
Заметим, что `(-x)/cos(-x) = -x/cos(x)`, так как косинус является четной функцией.
Также заметим, что `sin(-x) = -sin(x)`, так как синус является нечетной функцией.
Поэтому `y` преобразуется следующим образом:
`y = -x/cos(x) - sin(x)`.
Мы видим, что `y` не равно `-y`, поэтому функция `y = (x/cosx)+sinx` не является нечетной.
4. Функция `y = x^3+tgx`:
Для проверки заменим `x` на `-x`:
`y = (-x)^3+tg(-x) = -x^3+(-tgx)`.
Заметим, что `(-x)^3` равно `-x^3`, так как нечётная степень отрицательного числа даёт отрицательное число.
Также заметим, что `tg(-x) = -tg(x)`, так как тангенс является нечетной функцией.
Поэтому `y` преобразуется следующим образом:
`y = -x^3 - tgx`.
Мы видим, что `y` равно `-y`, поэтому функция `y = x^3+tgx` является нечетной.
Таким образом, из предложенных функций только `y = x^3+tgx` является нечетной.
Функция называется нечетной, если для любого значения `x` выполняется равенство `f(-x) = -f(x)`.
Давайте проверим каждую из данных функций по этому определению.
1. Функция `y = x(x+1)/sinx`:
Для проверки заменим `x` на `-x`:
`y = -x(-x+1)/sin(-x)`.
Можем заметить, что `-x(-x+1)` равно `x(x-1)`, так как умножение двух отрицательных чисел даёт положительное число.
Также заметим, что `sin(-x) = -sin(x)`, так как синус является нечетной функцией.
Следовательно, `y` преобразуется следующим образом:
`y = -x(x-1)/-sinx = x(x-1)/sinx`.
Мы видим, что `y` не равно `-y`, поэтому функция `y = x(x+1)/sinx` не является нечетной.
2. Функция `y = x^3tgx`:
Для проверки заменим `x` на `-x`:
`y = (-x)^3tg(-x) = -x^3t(-x)`.
Заметим, что `(-x)^3` равно `-x^3`, так как нечётная степень отрицательного числа даёт отрицательное число.
Также заметим, что `tg(-x) = -tg(x)`, так как тангенс является нечетной функцией.
Поэтому `y` преобразуется следующим образом:
`y = -(-x)^3(-tgx) = -(-x^3)(-tgx) = x^3tgx`.
Мы видим, что `y` равно `-y`, поэтому функция `y = x^3tgx` является нечетной.
3. Функция `y = (x/cosx)+sinx`:
Для проверки заменим `x` на `-x`:
`y = (-x/cos(-x))+sin(-x)`.
Заметим, что `(-x)/cos(-x) = -x/cos(x)`, так как косинус является четной функцией.
Также заметим, что `sin(-x) = -sin(x)`, так как синус является нечетной функцией.
Поэтому `y` преобразуется следующим образом:
`y = -x/cos(x) - sin(x)`.
Мы видим, что `y` не равно `-y`, поэтому функция `y = (x/cosx)+sinx` не является нечетной.
4. Функция `y = x^3+tgx`:
Для проверки заменим `x` на `-x`:
`y = (-x)^3+tg(-x) = -x^3+(-tgx)`.
Заметим, что `(-x)^3` равно `-x^3`, так как нечётная степень отрицательного числа даёт отрицательное число.
Также заметим, что `tg(-x) = -tg(x)`, так как тангенс является нечетной функцией.
Поэтому `y` преобразуется следующим образом:
`y = -x^3 - tgx`.
Мы видим, что `y` равно `-y`, поэтому функция `y = x^3+tgx` является нечетной.
Таким образом, из предложенных функций только `y = x^3+tgx` является нечетной.