Для изучения продуктивности крупного рогатого скота собрана случайная повторная выборка (Х – годовой удой в тыс. кг на одну корову, n – число коров). Таблица 1.
Хi 2,5 – 2,8 2,8 – 3,1 3,1 – 3,4 3,4 – 3,7 3,7 – 4,0 4,0 – 4,3 4,3 – 4,6 4,6 – 4,9
ni 3 5 9 11 14 10 6 2
Найти:
3) объем повторной выборки, при которой те же границы для сред-него удоя можно гарантировать с надежностью 0,975.
Для начала, нам необходимо найти стандартное отклонение выборки. Для этого воспользуемся формулой:
σ = √[(Σ(Xi - X̄)^2 * ni) / (n - 1)]
Где:
- σ - стандартное отклонение выборки
- Xi - центральное значение интервала (среднее значение интервала)
- X̄ - средний удой по всей выборке
- ni - количество наблюдений в интервале
- n - объем выборки
Далее, нам необходимо найти значение стандартного отклонения z для надежности 0,975. Мы знаем, что надежность равна 0,975, поэтому мы можем использовать таблицу значений стандартного нормального распределения, чтобы найти соответствующее значение z. Значение z, соответствующее надежности 0,975, равно 1,96.
Теперь мы можем использовать найденные значения, чтобы найти объем повторной выборки. Формула для этого:
n = (σ * z / E)^2
Где:
- n - объем повторной выборки
- E - погрешность (разность между верхним и нижним значением интервала)
- σ - стандартное отклонение выборки
- z - значение стандартного отклонения для заданной надежности
Теперь приступим к решению:
1. Вычисляем средний удой по всей выборке (X̄):
X̄ = (Σ(Xi * ni)) / Σni
где Σ(Xi * ni) - сумма произведений центральных значений интервалов на количество наблюдений для каждого интервала
Σni - сумма количества наблюдений для каждого интервала
X̄ = ((2,65 * 3) + (2,95 * 5) + (3,25 * 9) + (3,55 * 11) + (3,85 * 14) + (4,15 * 10) + (4,45 * 6) + (4,75 * 2)) / (3 + 5 + 9 + 11 + 14 + 10 + 6 + 2)
X̄ = (7,95 + 14,75 + 29,25 + 39,05 + 53,9 + 41,5 + 26,7 + 9,5) / 60
X̄ = 232,6 / 60
X̄ ≈ 3,877
2. Вычисляем стандартное отклонение выборки (σ):
σ = √[(Σ(Xi - X̄)^2 * ni) / (n - 1)]
где Σ(Xi - X̄)^2 * ni - сумма произведений квадратов разности центральных значений интервалов и среднего удоя на количество наблюдений для каждого интервала
n - объем выборки
σ = √[((2,5 - 3,877)^2 * 3) + ((2,8 - 3,877)^2 * 5) + ((3,1 - 3,877)^2 * 9) + ((3,4 - 3,877)^2 * 11) + ((3,7 - 3,877)^2 * 14)
+ ((4,0 - 3,877)^2 * 10) + ((4,3 - 3,877)^2 * 6) + ((4,6 - 3,877)^2 * 2)] / (60 - 1)
σ = √[(1,437^2 * 3) + (0,077^2 * 5) + (0,247^2 * 9) + (0,477^2 * 11) + (0,197^2 * 14) + (0,123^2 * 10) + (0,423^2 * 6) + (0,723^2 * 2)] / 59
σ = √[(2,064 + 0,029 + 0,148 + 1,083 + 0,039 + 0,015 + 0,256 + 0,105)] / 59
σ = √[3,739] / 59
σ ≈ √[0,0634]
σ ≈ 0,2517
3. Вычисляем объем повторной выборки (n):
n = (σ * z / E)^2
где z - значение стандартного отклонения для надежности 0,975
E - погрешность (разность между верхним и нижним значением интервала)
σ - стандартное отклонение выборки
n = (0,2517 * 1,96 / (4,9 - 2,5))^2
n = (0,4936 / 2,4)^2
n = 0,2057^2
n ≈ 0,042
Таким образом, объем повторной выборки, при котором те же границы для среднего удоя можно гарантировать с надежностью 0,975, составляет около 0,042 тыс. коров.