Найти частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения, после, необходимо подставить в него начальные условия. y=x(y'-xcosx), y(Pi/2)=0. ответ: y=(sinx-1)x
Разделив обе части уравнения на x, получим уравнение y/x=y'-x*cos(x), или y'-y/x-x*cos(x)=0. Это - ЛДУ 1 порядка, полагаем y=u*v, тогда y'=u'*v+u*v' и уравнение принимает вид: u'*v+u*v'-u*v/x-x*cos(x)=0, или v*(u'-u/x)+u*v'-x*cos(x)=0. Так как одной из функция u или v мы можем распорядиться по произволу, то поступим так с u и потребуем, чтобы она удовлетворяла уравнению u'-u/x=0. Это уравнение имеет решение u=x, отсюда следует уравнение x*v'=x*cos(x), или v'=dv/dx=cos(x). Отсюда dv=cos(x)*dx и v=sin(x)+C, где C - произвольная постоянная. Общее решение уравнения y1=u*v=x*[sin(x)+C]. Используя условие y(π/2)=0, приходим к уравнению 0=π/2*(1+C), откуда C=-1. Тогда искомое частное решение y2=x*[sin(x)-1].
ответ: y=x*[sin(x)-1].
Пошаговое объяснение:
Разделив обе части уравнения на x, получим уравнение y/x=y'-x*cos(x), или y'-y/x-x*cos(x)=0. Это - ЛДУ 1 порядка, полагаем y=u*v, тогда y'=u'*v+u*v' и уравнение принимает вид: u'*v+u*v'-u*v/x-x*cos(x)=0, или v*(u'-u/x)+u*v'-x*cos(x)=0. Так как одной из функция u или v мы можем распорядиться по произволу, то поступим так с u и потребуем, чтобы она удовлетворяла уравнению u'-u/x=0. Это уравнение имеет решение u=x, отсюда следует уравнение x*v'=x*cos(x), или v'=dv/dx=cos(x). Отсюда dv=cos(x)*dx и v=sin(x)+C, где C - произвольная постоянная. Общее решение уравнения y1=u*v=x*[sin(x)+C]. Используя условие y(π/2)=0, приходим к уравнению 0=π/2*(1+C), откуда C=-1. Тогда искомое частное решение y2=x*[sin(x)-1].