Для того чтобы определить, является ли функция F(x) первообразной функции f(x), нужно проверить, выполняется ли условие Фундаментальной теоремы исчисления:
Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) на промежутке [a, b], то интеграл от f(x) по этому промежутку будет равен разности функции F(x) на концах этого промежутка: ∫(a до b) f(x) dx = F(b) - F(a).
В данном случае у нас F(x) = x^4 и f(x) = 4x^3.
Для проверки условия Фундаментальной теоремы исчисления, найдем интеграл от f(x) по указанному промежутку:
∫(a до b) 4x^3 dx
Для нахождения интеграла по функции x^n, где n - степень x, нужно прибавить 1 к степени и разделить на новую степень. В данном случае у нас n = 3, значит интеграл будет равен:
(4/4) * x^4 + C = x^4 + C
Теперь, согласно условию Фундаментальной теоремы, нужно проверить, равны ли функции F(x) = x^4 и F(b) - F(a) = F(x) - F(a) на данном промежутке.
Заметим, что функции F(x) = x^4 и x^4 + C для любой константы C обладают одинаковыми производными, так как производная константы равна нулю. То есть F'(x) = (x^4 + C)' = 4x^3.
Таким образом, функция F(x) = x^4 является первообразной функции f(x) = 4x^3 на промежутке R (все действительные числа), так как выполнены условия Фундаментальной теоремы исчисления.
Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) на промежутке [a, b], то интеграл от f(x) по этому промежутку будет равен разности функции F(x) на концах этого промежутка: ∫(a до b) f(x) dx = F(b) - F(a).
В данном случае у нас F(x) = x^4 и f(x) = 4x^3.
Для проверки условия Фундаментальной теоремы исчисления, найдем интеграл от f(x) по указанному промежутку:
∫(a до b) 4x^3 dx
Для нахождения интеграла по функции x^n, где n - степень x, нужно прибавить 1 к степени и разделить на новую степень. В данном случае у нас n = 3, значит интеграл будет равен:
(4/4) * x^4 + C = x^4 + C
Теперь, согласно условию Фундаментальной теоремы, нужно проверить, равны ли функции F(x) = x^4 и F(b) - F(a) = F(x) - F(a) на данном промежутке.
Заметим, что функции F(x) = x^4 и x^4 + C для любой константы C обладают одинаковыми производными, так как производная константы равна нулю. То есть F'(x) = (x^4 + C)' = 4x^3.
Таким образом, функция F(x) = x^4 является первообразной функции f(x) = 4x^3 на промежутке R (все действительные числа), так как выполнены условия Фундаментальной теоремы исчисления.
Надеюсь, что мой ответ понятен школьнику!