Xy'-y=-x найти общие решения можно по быстрее

Замена

y`=p

xp`+p=–x

p`+(1/x)p=–1 – линейной уравнение первого порядка.

Будем искать решение в виде

p(x)=u(x)·v(x)

p`=u`·v+u·v`

u`·v+u·v`+(1/х)·uv= – 1

u`·v+u(v`+(1/х)·v)= – 1

Поскольку u и v – произвольные, полагаем, что выражение в скобках ( выделено жирным шрифтом) равно 0

Получаем два уравнения с разделяющимися переменными

1) v`+(1/x)·v=0 ⇒ dv/v= –dx/x

Интегрируем

ln|v|=–ln|x| ⇒ v=1/x

2) u`·v+u·0= – 1

v=1/x найдено в п.1)

u`·(1/x)= – 1

u`= –xdx

u= (–x2/2) +C1

p=((–x2/2) + C1)(1/x)

y`=(–x2/2) +C1/x

Интегрируем

y=(–x3/6)+C1ln|x| + C2 – о т в е т.