Какое наименьшее количество уголков из трёх клеток можно расположить в квадрате 5х5 таким образом, чтобы больше нельзя было положить ни одного другого уголка без наложений?
Заметим, что если мы для текущей расстановки не можем положить еще один уголок, то выполняется следующее условие: в любом квадрате 2х2 закрашено не менее двух клеток. Действительно, если в квадрате 2х2 закрашена только одна клетка, то в оставшиеся три клетки размещается еще один уголок. Тем более уголок размещается, если в квадрате 2х2 нет закрашенных клеток.
Рассмотрим в квадрате 5х5 четыре квадрата 2х2, выделенных на картинке. Поскольку один уголок не может одновременно располагаться в двух таких квадратах, то уголков должно быть как минимум четыре, для того чтобы выполнялось условие, оговоренное выше.
Итак, минимальное число уголков равно 4. Но для 4 уголков мы уже можем показать требуемую расстановку (на картинке).
Заметим, что если мы для текущей расстановки не можем положить еще один уголок, то выполняется следующее условие: в любом квадрате 2х2 закрашено не менее двух клеток. Действительно, если в квадрате 2х2 закрашена только одна клетка, то в оставшиеся три клетки размещается еще один уголок. Тем более уголок размещается, если в квадрате 2х2 нет закрашенных клеток.
Рассмотрим в квадрате 5х5 четыре квадрата 2х2, выделенных на картинке. Поскольку один уголок не может одновременно располагаться в двух таких квадратах, то уголков должно быть как минимум четыре, для того чтобы выполнялось условие, оговоренное выше.
Итак, минимальное число уголков равно 4. Но для 4 уголков мы уже можем показать требуемую расстановку (на картинке).
ответ: 4