На доске написано двузначное число. дима переставил цифры, и полученное число увеличилось в 4,5 раза. какое двузначное число было записано первоначально?

х-цифра десятков в первом числе и единиц во втором
у-цифры единиц в первом числе и десятков во втором
10у+х-будет второе число
10х+у-будет первое число

(10у+х)/(10х+у)=4,5
10у+х=4,5*(10х+у)
10у+х=45х+4,5у
10у-4,5у=4х-х
5,5у=44х
5,5у-44х=0
5,5*(у-8х)=0
у-8х=0
у=8х подставляем в начальное уравнение
(10*8х+х)/(10х+8х)=4,5
81х/18х=4,5
81/18=4,5

18 было написано на доске

81 получилось после перестановки цифр местами

Решение1 почти правильное. Оно ошибочно(тавтологично), начиная с 

у = 8х

Дальше рассуждать нужно так:

Так как х и у - цифры, значит

0<y<10, то есть

0<8x<10

0<x<1.25, то есть х=1, у=8х=8

Исходные числа 18 и 81.

Замечание

Слева строгое равенство, так как чиcла двузначные, значит х,у#0