Даны три точки пространства: М (1,1, 2), М (-1, 0, 1), м (1,1,1) . Найти: 1. уравнение плоскости, проходящей через эти три точки;
2. расстояние от начала координат до плоскости, найденной в п. 1;
3.
уравнение плоскости, проходящей через начало координат, параллельно
плоскости найденной в п. 1.

Даны три точки пространства: М1 (1,1, 2), М2 (-1, 0, 1), М3 (1,1,1) . Найти:

1. Уравнение плоскости, проходящей через эти три точки;  

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA            y - yA          z - zA

xB - xA        yB - yA        zB - zA

xC - xA      yC - yA          zC - zA     = 0

Подставим координаты заданных точек и упростим выражение:

x - 1         y - 1           z - 2

(-1) - 1 0 - 1            1 - 2

1 - 1       1 - 1           1 - 2       = 0

x - 1          y - 1            z - 2

-2              -1                -1

0               0                 -1       = 0

( x - 1)  (-1·(-1)-(-1)·0)  -  (y - 1) ((-2)·(-1)-(-1)·0)  +  (z - 2)  ((-2)·0-(-1)·0)  = 0

1 x - 1  + (-2) y - 1  + 0 z - 2  = 0

x - 2y + 1 = 0.

2. Расстояние от начала координат до плоскости, найденной в п. 1.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0  используем формулу:

d =   |A·Mx + B·My + C·Mz + D| /√(A² + B² + C²)  

Подставим в формулу координаты плоскости и начала координат О(0; 0; 0).

d =   |1·0 + (-2)·0 + 0·0 + 1| /√(1² + (-2)² + 0²)  =   |0 + 0 + 0 + 1|/√(1 + 4 + 0)  =

=   1/ √5  =   √5/ 5  ≈ 0.44721359.

3. уравнение плоскости, проходящей через начало координат, параллельно  плоскости, найденной в п. 1.

Уравнение A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0  является уравнением плоскости, проходящей через точку 0(0, 0, 0) и параллельной плоскости по п. 1.

1( x - 0) - 2(y - 0) + 0(z - 0) +  D = 0.

Так как D=−(Ax0+By0+Cz0) = 0, получаем заданное уравнение:

x - 2y = 0.