Войти Регистрация Спроси ai-bota

Вычисление интегралов с иррациональными выражениями

Вычисление интегралов с иррациональными выражениями

Ответ:

lolkekcheburek2281

19.12.2020 20:41

a)

$\int \frac{x^3\mathrm{d}x}{\sqrt{x-1}} = I$

$\sqrt{x-1} = t 0$

x-1 = t^2

x = t^2 +1

$\mathrm{d}x = 2t\mathrm{d}t$

x^3 = (t^2 +1)^3

$I = \int \frac{(t^2+1)^3}{t}\cdot 2t\;\mathrm{d}t = 2\int(t^2+1)^3\;\mathrm{d}t =$

$= 2\int (t^6 + 3t^4 + 3t^2 + 1)\;\mathrm{d}t =$

$= 2\cdot(\frac{t^7}{7} + 3\cdot\frac{t^5}{5} + 3\cdot\frac{t^3}{3} + t)+C =$

$= \frac{2}{7}\cdot(x-1)^{\frac{7}{2}} + \frac{6}{5}\cdot(x-1)^{\frac{5}{2}} +$

$+ 2\cdot(x-1)^{\frac{3}{2}} + 2\cdot\sqrt{x-1} + C$

б)

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x+1} + \sqrt{(x+1)^3}} =$

$= \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x+1}+(x+1)\cdot\sqrt{x+1}} = I$

$\sqrt{x+1} = t 0$

x+1 = t^2

x = t^2 -1

$\mathrm{d}x = 2t\mathrm{d}t$

$I = \int\frac{2t\mathrm{d}t}{t+t^2\cdot t} = \int\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^2} =$

$= 2\int\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2} = 2\mathrm{arctg}t + C =$

$= 2\cdot\mathrm{arctg}(\sqrt{x+1}) + C$

в)

$\int\frac{\sqrt{x}\mathrm{d}x}{x+2} = I$

$\sqrt{x} = t$

x = t^2

$\mathrm{d}x = 2t\mathrm{d}t$

$I = \int\frac{t\cdot 2t\mathrm{d}t}{t^2+2} = 2\cdot\int\frac{t^2}{t^2+2}\;\mathrm{d}t =$

$= 2\cdot\int\frac{t^2 + 2 - 2}{t^2+2}\;\mathrm{d}t =$

$= 2\cdot\int(1 - \frac{2}{t^2+2})\;\mathrm{d}t =$

$= 2\cdot( t - 2\cdot\int\frac{\mathrm{d}t}{t^2+2}) + C =$

$= 2t - 4\cdot\int\frac{\mathrm{d}t}{t^2+2} + C =$

$= 2t - 2\sqrt{2}\cdot\mathrm{arctg}(\frac{t}{\sqrt{2}}) + C =$

$= 2\sqrt{x} - 2\sqrt{2}\cdot\mathrm{arctg}\sqrt{\frac{x}{2}} + C$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

JackDead

31.07.2020 11:22

математика уже 3 час не могу решить...

A1289A

14.10.2022 07:57

Задание N 4 от лины всего пути. Haitorreколичество оставшегося пути и общее количество пути.Автобус проехал 92 км, что составляет(3б) ЭТО СОЧ...

ЦаринаПятёрок

12.03.2020 02:44

Запишите в виде десетичных...

masha20321

02.03.2023 02:26

9x - 6= - 5+ ( 6x - 10,6)...

nog2018

14.08.2020 23:00

Из двух 40 литровых сосудов одна наполнена на 3/8 часть, а вторая на 2/5-ю часть. Сколько миллилитров воды надо перелить из второго сосуда в первый, чтобы воды в сосудах было поровну?...

aselm94

04.02.2022 03:32

Вариант 1 Суммативное оценивание за 3 четверть1.Какое из представленных множеств является пересечением множеств А={1; 7; 5; 8}и В={1; 2; 5; 7; 13}?А) С= {1; 9; В) С= {1; 5) C) С=...

ЖанЖак2003

04.02.2022 03:32

Сравни дроби 6/12 и 4/12. 5/8 и 5/6...

Dragolord

04.02.2022 03:32

Автомобиль за 1,5 часа 75 километров . За сколько времени он пройдёт 375 километров двигаясь с той же скоростью ...

Котенок050402

19.02.2020 23:32

Решите : два теплохода движутся про реке на встречу друг к другу. первый теплоход имеет собственную скорость 25,6 км/ч и плывёт по течению реки, а второй- собственную скорость 32...

vilnur345

19.02.2020 23:32

Решите в 244006÷58 250920÷369решите в пэйнте или на третрадке но просто дайте мне картинку...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку