Существует ли такой набор гирь с целыми весами меньше 10г что при их можно набрать веса 2021г 2022г 2023г 2024г,но при этом нельзя набрать 2020г и 2025г?

я думаю что да

Пошаговое объяснение:

Имеется набор гирь, веса которых в граммах: 1, 2, 4,... , 512 (последовательные степени двойки) – по одной гире каждого веса. Груз разрешается взвешивать с этого набора, кладя гири на обе чашки весов.

  а) Докажите, что никакой груз нельзя взвесить этими гирями более чем

  б) Приведите пример груза, который можно взвесить ровно

Решение

  Пусть Kn(P) – число которыми можно взвесить вес P, используя гири веса  1, 2,..., 2n,  и      (максимальное число которыми можно взвесить какой-либо вес с этих гирь). Очевидно,  K0 = 1,  K1 = 2.

  а) Наша задача – доказать, что  K9 ≤ 89.  Мы докажем, что  Kn+1 ≤ Kn + Kn–1  для каждого  n ≥ 1.  Последовательно применяя это неравенство, получим:

K2 ≤ 3,  K3 ≤ 5,  ..., K9 ≤ 89.

  Рассмотрим гири  1, 2, ..., 2n+1  и какой-либо вес P. Если P чётно, то, очевидно, при его взвешивании гиря веса 1 не используется, то есть взвесить вес P можно тем же числом что и вес P/2 с гирь  1, 2,..., 2n,  то есть  Kn+1(P) = Kn(P/2).  Если P делится на 4, то аналогично

Kn+1(P) = Kn–1(P/4).

  Пусть P нечётно. Тогда при его взвешивании обязательно должна быть использована гиря веса 1. Её можно положить как на одну, так и на другую чашу весов. В одном случае мы сведём задачу к взвешиванию груза веса  P – 1,  в другом – к взвешиванию груза веса  P + 1  гирями веса  2, 4,..., 2n+1.  Таким образом,  Kn+1(P) = Kn+1(P–1) + Kn+1(P+1).  Так как оба числа  P – 1  и  P + 1  чётны, а одно из них делится на 4, то в одном из случаев мы имеем не более взвешивания, в другом – не более Kn. Итак,  Kn+1(P) ≤ Kn + Kn–1.

  б) Пример: 171 г. Рассмотрим последовательность  1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171.  Легко проверить, что для каждого члена Pn+1 этой последовательности пара чисел  Pn+1 – 1  и  Pn+1 + 1  совпадает с парой чисел  2Pn и 4Pn–1  (не обязательно в том же порядке). Отсюда, как видно из а), следует равенство

Kn+1(Pn+1) = Kn(Pn) + Kn–1(Pn–1),  а так как  K1(P1) = 2,  K2(P2) = 3,  то, последовательно вычисляя, получим  K9(171) = K9(P9) = 89.

ответ

б) Например, 171 г.

Замечания

1. Вес 171 – не единственный, который можно взвесить ровно Вес  341 = 512 – 171  (и только он) обладает тем же свойством.

2. Последовательность из пункта б) можно продолжить: формула общего члена этой последовательности:      Рассмотрение этой последовательности доказывает, что  Kn+1 = Kn + Kn–1  для всех  n ≥ 1,  то есть числа Kn (с точностью до сдвига нумерации) совпадают с числами Фибоначчи.