y'=lim [y(x+Δx)-y(x)]/Δx при Δx⇒0. Но y(x+Δx)=ln[(x+Δx)²+1]=ln[x²+2*x*Δx+(Δx)²+1], поэтому y(x+Δx)-y(x)=ln[(x²+2*x*Δx+(Δx)²+1)/(x²+1)]=ln[1+(2*x*Δx+(Δx)²)/(x²+1)]. Но при Δx⇒0 бесконечно малая величина ln[1+(2*x*Δx+(Δx)²)/(x²+1)] эквивалентна бесконечно малой величине (2*x*Δx+(Δx)²)/(x²+1), поэтому Δy/Δx~[2*x*Δx+(Δx)²]/[Δx*(x²+1)]=(2*x+Δx)/(x²+1). Отсюда y'=lim(Δy/Δx)=2*x/(x²+1).
ответ: y'=2*x/(x²+1)
Пошаговое объяснение:
y'=lim [y(x+Δx)-y(x)]/Δx при Δx⇒0. Но y(x+Δx)=ln[(x+Δx)²+1]=ln[x²+2*x*Δx+(Δx)²+1], поэтому y(x+Δx)-y(x)=ln[(x²+2*x*Δx+(Δx)²+1)/(x²+1)]=ln[1+(2*x*Δx+(Δx)²)/(x²+1)]. Но при Δx⇒0 бесконечно малая величина ln[1+(2*x*Δx+(Δx)²)/(x²+1)] эквивалентна бесконечно малой величине (2*x*Δx+(Δx)²)/(x²+1), поэтому Δy/Δx~[2*x*Δx+(Δx)²]/[Δx*(x²+1)]=(2*x+Δx)/(x²+1). Отсюда y'=lim(Δy/Δx)=2*x/(x²+1).