Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 250, для которых после умножения на 36 количество делителей увеличивается в 3 раз? (Укажи в ответе только число!)

ответ:4

Пошаговое объяснение:Предварительно заметим, что если

 n=pv11pv22...pvss — разложение числа n на простые множители, то количество делителей числа n определяется по формуле

 d(n)=(v1+1)(v2+1)...(vs+1).

 Действительно, любой делитель d числа n имеет вид:

 d=pα11pα22...pαss, где 0≤αi≤vi.

Показатель α1 можно выбрать показатель α2 можно выбрать и так далее, показатель αs можно выбрать Таким образом, количество выбрать показатели α1… αs или, что то же самое, выбрать делитель d числа n, которое равно (v1+1)(v2+1)...(vs+1).

 1. Пусть n раскладывается на простые следующим образом:

 n=2α3βpα11...pαss,

 тогда количество делителей n равно

 d(n)=(α+1)(β+1)(α1+1)...(αs+1).

 2. Разложим исходное число на простые множители:

 36=22⋅32.

 После умножения n на 36 получим:

 36n=2α+23β+2pα11...pαss,

 d(36n)=(α+3)(β+3)(α1+1)...(αs+1).

 3. Если количество делителей числа 36n увеличилось в 3 раза, то

 d(36n)=3d(n) и (α+3)(β+3)(α1+1)...(αs+1)=3(α+1)(β+1)(α1+1)...(αs+1).

Отсюда находим

 (α+3)(β+3)=3(α+1)(β+1),

 αβ=3.

Таким образом, α=1, β=3 либо α=3, β=1.

Значит, для того чтобы после умножения на 36 количество делителей увеличилось в 3 раза, число должно иметь вид

 2133q=54q или 2331p=24p,

где q, p взаимно просты с 6. Отметим, что числа этих видов не пересекаются, так как делятся на разную степень 2.

 4. Посчитаем количество чисел указанных видов, не превосходящих 250.

 Имеем

 54q≤250,

 q≤4.

 Только q=1 подходит. Получаем только один вариант — число вида 54q.

Аналогично

24p≤250,

p≤10.

Числа p=1;5;7 — взаимно просты с 6. Получаем 3 варианта чисел вида 24p.