Войти Регистрация Спроси ai-bota

решить однородное дифференциальное уравнение нужно
4xy'=y lnx- y lny

Ответ:

BovolskajLesj

02.12.2020 09:10

$4xy'=y \ln x- y\ln y$

$4xy'=y (\ln x- \ln y)$

$4xy'=y \ln \dfrac{x}{y}$

$4\cdot\dfrac{x}{y}\cdot y'= \ln \dfrac{x}{y}$

Замена:

$\dfrac{y}{x} =t$

$\Rightarrow y =tx$

$\Rightarrow y'=t'x+tx'=t'x+t$

Получаем уравнение:

$4\cdot\dfrac{1}{t}\cdot (t'x+t)= \ln \dfrac{1}{t}$

$4\cdot\dfrac{1}{t}\cdot (t'x+t)= -\ln t$

$4 (t'x+t)= -t\ln t$

$4 t'x+4t= -t\ln t$

$\dfrac{4xdt}{dx} =-t\ln t-4t$

$\dfrac{4dt}{t\ln t+4t} =-\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{4dt}{t\ln t+4t} =-\int\dfrac{dx}{x}$

$4\int\dfrac{dt}{t(\ln t+4)} =-\int\dfrac{dx}{x}$

$4\int\dfrac{d(\ln t)}{\ln t+4} =-\int\dfrac{dx}{x}$

$4\int\dfrac{d(\ln t+4)}{\ln t+4} =-\int\dfrac{dx}{x}$

$4\ln|\ln t+4| =-\ln|x|+\ln C$

$\ln(\ln t+4)^4 =\ln\dfrac{C}{x}$

$(\ln t+4)^4 =\dfrac{C}{x}$

Обратная замена:

$\boxed{\left(\ln \dfrac{y}{x} +4\right)^4 =\dfrac{C}{x}}$ - общий интеграл уравнения

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Yournick

03.07.2022 18:29

Продавець продав 1/4 частину рулона тканини. Скільки метрів тканини продав продавець, якщо в рулоні було 78 м?...

мад228

17.01.2020 14:03

Петя учавствует в забеге 5 киллометров. Через 3/7 дистанции он первый раз остановился перевести дыхание. Сколько километров от старта Петя бежал без остановки? ...

lukynova20

28.07.2020 22:01

P4,Р5, P6 что они могут означать?...

Dispensable

05.04.2022 16:43

800:х=350-150= 480-х=120*3=...

madinamerzhoeva

13.03.2023 05:18

На клетчатой бумаге с размером 1 сма × 1 см отмечены четыре точки А,В,С и Д. Найдите , во сколько раз отрезок АВ больше , чем отрезок СД. Помните...

kostiusikao

21.01.2023 04:02

Сколько целых чисел , кратких 5 , содержится в числовом промежутке...

АринаРоудер

06.05.2022 18:03

Розв яжіть рівняння: x⁴-x²-12=0 x+2...

lekhalis2002

19.09.2020 12:48

У якому випадку подія А називається достовірною...

мууур1

25.05.2021 10:44

Печка расходует ежедневно 7 литров житкого топлива . сколько литров топлива надо для ежедневной работы печки на всю зиму с 1 декабря по 28 февраля...

ттатт

25.05.2021 10:44

Продолжительность урока 45 минут. на решение ушло 9 минут. какая часть урока ушла на решение ? ответ выразите десятичной дробью....

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку