Задача №5. На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 19, 20. Разрешается стереть любые два числа a и b и вместо них написать число a + b – 1. Какое число может остаться на доске после 19 таких операций? *
У нас есть числа от 1 до 20 на доске. Мы должны стереть два числа a и b и заменить их на сумму a + b – 1. Мы будем повторять эту операцию 19 раз. Наша задача – выяснить, какое число может остаться на доске после этих 19 операций.
Давай посмотрим на примере. Пусть мы выбрали числа 4 и 7. Сумма этих чисел равна 11, а если вычесть 1, получим 10. Таким образом, мы заменили 4 и 7 на 10.
Теперь перейдём к общей стратегии:
1. Заменим первые два числа на их сумму минус 1. В нашем случае это будет 1 + 2 – 1 = 2.
2. Заменим следующие два числа на их сумму минус 1. В этом случае это будет 2 + 3 – 1 = 4.
3. Продолжим этот процесс до 19-й операции.
Посмотрим на последние два числа на доске. Давай обозначим их как n и n+1.
На 19-й операции сумма этих чисел будет (n + n+1) – 1 = 2n.
Итак, после 19 операций на доске останется число 2n, где n – последнее число на доске.
А значит, чтобы найти ответ, нам нужно найти последнее число на доске после 19 операций.
Начинаем с числа 20, и будем шаг за шагом выполнять 19 операций.
У нас есть числа от 1 до 20 на доске. Мы должны стереть два числа a и b и заменить их на сумму a + b – 1. Мы будем повторять эту операцию 19 раз. Наша задача – выяснить, какое число может остаться на доске после этих 19 операций.
Давай посмотрим на примере. Пусть мы выбрали числа 4 и 7. Сумма этих чисел равна 11, а если вычесть 1, получим 10. Таким образом, мы заменили 4 и 7 на 10.
Теперь перейдём к общей стратегии:
1. Заменим первые два числа на их сумму минус 1. В нашем случае это будет 1 + 2 – 1 = 2.
2. Заменим следующие два числа на их сумму минус 1. В этом случае это будет 2 + 3 – 1 = 4.
3. Продолжим этот процесс до 19-й операции.
Посмотрим на последние два числа на доске. Давай обозначим их как n и n+1.
На 19-й операции сумма этих чисел будет (n + n+1) – 1 = 2n.
Итак, после 19 операций на доске останется число 2n, где n – последнее число на доске.
А значит, чтобы найти ответ, нам нужно найти последнее число на доске после 19 операций.
Начинаем с числа 20, и будем шаг за шагом выполнять 19 операций.
20 -> 20 + 19 – 1 = 38
38 -> 38 + 18 – 1 = 55
55 -> 55 + 17 – 1 = 71
...
и так далее
Продолжаем выполнять операции, пока не закончим все 19 шагов.
И вот, после 19-й операции, на доске останется число 197.
Итак, ответ: после 19 операций на доске останется число 197.
Надеюсь, задача была понятна. Если есть ещё какие-то вопросы, не стесняйся задавать!