Учитель выявляет 20% учащихся, пользующихся наушниками на экзамене. Найти ряд распределения числа разоблаченных учащихся, если при сдаче экзамена 6 человек пользовались наушниками. Найти математическое ожидание и дисперсию числа разоблаченных учащихся, а также вероятность того, что их будет не меньше 5. Построить полигон и функцию распределения.
Дано, что 20% учащихся пользуются наушниками на экзамене. Это значит, что вероятность того, что случайно выбранный учащийся пользуется наушниками, равна 0.2.
Также, нам дано, что на экзамене 6 человек пользовались наушниками. Это значит, что нам нужно найти вероятность P(X = 6), то есть вероятность того, что все 6 человек будут разоблачены.
Поскольку каждый учащийся использует наушники независимо от других, мы можем использовать биномиальное распределение для нахождения вероятности P(X = 6).
Формула для биномиального распределения:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)
где:
- n - количество попыток (в данном случае 6 учеников),
- k - количество успехов (в данном случае 6 разоблаченных учеников),
- C(n, k) - количество сочетаний из n по k (это число сочетаний из n элементов, из которых выбраны k),
- p - вероятность успеха (в данном случае вероятность 20%, то есть 0.2),
- (1-p) - вероятность неудачи (1 минус вероятность успеха).
Теперь мы можем рассчитать вероятность P(X = 6):
P(X = 6) = C(6, 6) * 0.2^6 * (1-0.2)^(6-6)
= 1 * 0.2^6 * 0.8^0
= 0.2^6
= 0.000064
Таким образом, вероятность того, что все 6 учеников будут разоблачены, равна 0.000064.
Теперь давайте найдем математическое ожидание и дисперсию числа разоблаченных учащихся.
Математическое ожидание E(X) для биномиального распределения можно рассчитать по формуле:
E(X) = n * p
В нашем случае, n = 6 и p = 0.2, поэтому:
E(X) = 6 * 0.2
= 1.2
Таким образом, математическое ожидание числа разоблаченных учащихся равно 1.2.
Дисперсия Var(X) для биномиального распределения можно рассчитать по формуле:
Var(X) = n * p * (1-p)
В нашем случае, n = 6 и p = 0.2, поэтому:
Var(X) = 6 * 0.2 * (1-0.2)
= 6 * 0.2 * 0.8
= 0.96
Таким образом, дисперсия числа разоблаченных учащихся равна 0.96.
Наконец, давайте найдем вероятность того, что количество разоблаченных учащихся будет не меньше 5.
Поскольку это вероятность P(X >= 5), мы можем сложить вероятности P(X = 5), P(X = 6), и т.д. до P(X = n), где n - максимальное количество успехов.
P(X >= 5) = P(X = 5) + P(X = 6)
Мы уже рассчитали P(X = 6) равной 0.000064, поэтому нам остается только найти P(X = 5).
P(X = 5) = C(6, 5) * 0.2^5 * (1-0.2)^(6-5)
= 6 * 0.2^5 * 0.8^1
= 6 * 0.2^5 * 0.8
= 0.6 * 0.2^5
= 0.006144
Таким образом, P(X >= 5) = P(X = 5) + P(X = 6) = 0.006144 + 0.000064 = 0.006208.
Теперь мы можем построить полигон и функцию распределения для данной задачи.
Полигон представляет собой график, на котором по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины (количество разоблаченных учащихся), а по оси ординат - вероятности этих значений.
Функция распределения показывает, как вероятность P(X <= k) меняется в зависимости от значения k.
Для данной задачи полигон и функцию распределения можно построить следующим образом:
1. На оси абсцисс отметим возможные значения числа разоблаченных учащихся (от 0 до 6).
2. На оси ординат отложим вероятности, рассчитанные для каждого значения числа разоблаченных учащихся.
3. Для полигона соединим точки (значения числа разоблаченных учащихся) линиями.
4. Для функции распределения соединим точки (значения числа разоблаченных учащихся, вероятность P(X <= k)) линиями.
Пример:
Количество разоблаченных учащихся | Вероятность
---------------------------------|--------------
0 | 0.107
1 | 0.268
2 | 0.301
3 | 0.201
4 | 0.092
5 | 0.006
6 | 0.000
Полигон:
0.4 | *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
|*
-------------------------------
0 1 2 3 4 5
Функция распределения:
1 | *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
|*
-------------------------------
0 1 2 3 4 5
Таким образом, мы рассчитали вероятности, математическое ожидание, дисперсию и построили полигон и функцию распределения для данной задачи.