Можно ли выписать девять чисел 1, 2, …, 9 по кругу так, чтобы сумма никаких двух соседних чисел не делилась ни на 3, ни на 5, ни на 7?

Да, можно

Пошаговое объяснение:

Максимально возможная сумма чисел — это 17 (8+9), а минимально — 3 (1+2). Теперь выясним, какие числа в этом диапазоне делятся на 3, 5 и 7. Это числа 3, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 15. Значит суммой чисел может быть 4, 8, 11, 13, 16, 17. Зная это, мы можем узнать, какие числа могут стоять рядом

с 1: 3, 7;

с 2: 6, 9;

с 3: 1, 5, 8;

с 4: 7, 9;

с 5: 3, 6, 8;

с 6: 2, 5, 7;

с 7: 1, 4, 6, 9;

с 8: 3, 5, 9;

с 9: 2, 4, 7, 8.

Если у числа только два "соседа", то оно обязательно будет стоять рядом с ними.

Теперь начнем выстраивать наш числовой круг. Начнем с единицы, так как у ней только один вариант возможных "соседей" (можно начинать с любого такого числа). Рядом с 7 обязательно будет стоять 4, а рядом с 4 — 9. Около 9 точно будет 2, а рядом с ней — 6. Теперь у нас осталось два числа — 5 и 8. Около 6 ставим 5, а около 3 — 8. 5 и 8 могут и будут стоять рядом, так как их сумма равна 13.