Вариант 2 1. Задает ли указанное правило функцию у = f(x), если: -х, х<0, (х - 1, x < 1, 1) f(x) = 3-х?, 0x<2, 2) f(x) = х+1, 1< x < 4? –4, 2<x< 5; В случае положительного ответа: а) найдите область определения функции; б) вычислите значения функции в точках -3; 2; 6; в) постройте график функции; г) найдите промежутки монотонности функции.
Для начала разберемся, задает ли указанное правило функцию y = f(x).
Правило записано в виде условий и значений функции в этих условиях:
- k, x < 0
- (x - 1), x < 1
- 1, x = 1
- 3 - x, 0 < x < 2
- (x + 1), 1 < x < 4
- -4, 2 < x < 5
Видим, что для каждого значения x указано только одно значение функции y, что соответствует определению функции. Поэтому, указанное правило задает функцию y = f(x).
Теперь перейдем к решению других пунктов:
а) Найдите область определения функции:
Область определения функции - это множество значений аргумента x, при которых функция определена. Из условий видно, что функция определена при всех значениях x, входящих в условия (-∞, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 4), (4, 5), т.е. область определения функции равна (-∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, 4) ∪ (4, 5).
б) Вычислите значения функции в точках -3, 2, 6:
Для этого подставим значения x в выражение для функции:
- При x = -3: f(-3) = -(-3) = 3
- При x = 2: f(2) = 2 + 1 = 3
- При x = 6: f(6) = -4 (так как значение функции определено только при 2 < x < 5)
в) Постройте график функции:
Gиграфик функции будет состоять из нескольких отрезков прямых линий, поскольку функция задана разным правилом для различных интервалов.
- Для x < 0: функция равна -x и будет представлять собой прямую, проходящую через начало координат и с углом наклона 1.
- Для 0 < x < 1: функция равна x - 1 и будет представлять собой прямую, проходящую через точку (1, 0) и с углом наклона 1.
- Для 1 < x < 2: функция равна 3 - x и будет представлять собой прямую, проходящую через точку (2, 1) и с углом наклона -1.
- Для 2 < x < 4: функция равна x + 1 и будет представлять собой прямую, проходящую через точку (2, 3) и с углом наклона 1.
г) Найдите промежутки монотонности функции:
Промежутками монотонности функции будут являться интервалы, на которых функция возрастает или убывает. Для этого необходимо найти производную функции и определить ее знаки на различных интервалах.
- Для x < 0: функция -x является монотонно убывающей, так как производная отрицательна на этом интервале.
- Для 0 < x < 1: функция x - 1 является монотонно возрастающей, так как производная положительна на этом интервале.
- Для 1 < x < 2: функция 3 - x является монотонно убывающей, так как производная отрицательна на этом интервале.
- Для 2 < x < 4: функция x + 1 является монотонно возрастающей, так как производная положительна на этом интервале.
Осталось только нарисовать график функции с учетом всех вышеописанных особенностей и результатов нахождения значений, области определения и промежутков монотонности.
Правило записано в виде условий и значений функции в этих условиях:
- k, x < 0
- (x - 1), x < 1
- 1, x = 1
- 3 - x, 0 < x < 2
- (x + 1), 1 < x < 4
- -4, 2 < x < 5
Видим, что для каждого значения x указано только одно значение функции y, что соответствует определению функции. Поэтому, указанное правило задает функцию y = f(x).
Теперь перейдем к решению других пунктов:
а) Найдите область определения функции:
Область определения функции - это множество значений аргумента x, при которых функция определена. Из условий видно, что функция определена при всех значениях x, входящих в условия (-∞, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 4), (4, 5), т.е. область определения функции равна (-∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, 4) ∪ (4, 5).
б) Вычислите значения функции в точках -3, 2, 6:
Для этого подставим значения x в выражение для функции:
- При x = -3: f(-3) = -(-3) = 3
- При x = 2: f(2) = 2 + 1 = 3
- При x = 6: f(6) = -4 (так как значение функции определено только при 2 < x < 5)
в) Постройте график функции:
Gиграфик функции будет состоять из нескольких отрезков прямых линий, поскольку функция задана разным правилом для различных интервалов.
- Для x < 0: функция равна -x и будет представлять собой прямую, проходящую через начало координат и с углом наклона 1.
- Для 0 < x < 1: функция равна x - 1 и будет представлять собой прямую, проходящую через точку (1, 0) и с углом наклона 1.
- Для 1 < x < 2: функция равна 3 - x и будет представлять собой прямую, проходящую через точку (2, 1) и с углом наклона -1.
- Для 2 < x < 4: функция равна x + 1 и будет представлять собой прямую, проходящую через точку (2, 3) и с углом наклона 1.
г) Найдите промежутки монотонности функции:
Промежутками монотонности функции будут являться интервалы, на которых функция возрастает или убывает. Для этого необходимо найти производную функции и определить ее знаки на различных интервалах.
- Для x < 0: функция -x является монотонно убывающей, так как производная отрицательна на этом интервале.
- Для 0 < x < 1: функция x - 1 является монотонно возрастающей, так как производная положительна на этом интервале.
- Для 1 < x < 2: функция 3 - x является монотонно убывающей, так как производная отрицательна на этом интервале.
- Для 2 < x < 4: функция x + 1 является монотонно возрастающей, так как производная положительна на этом интервале.
Осталось только нарисовать график функции с учетом всех вышеописанных особенностей и результатов нахождения значений, области определения и промежутков монотонности.