Доказать равенства, пользуясь соответствующим определением предела (ничего не понял из этой темы, поэтому требуется желательно расписать подробно)

Доказать равенства, пользуясь соответствующим определением предела (ничего не понял из этой темы, по

Ответ:

Софочкакошечка13

15.11.2020 09:53

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle 1)\, \lim_{x\to\infty}\frac{5n+n^2}{3-7n}=\lim_{x\to\infty}\frac{(5n+n^2)}{(3-7n)}=\lim_{x\to\infty}\frac{n^-^2(5n+n^2)}{n^-^2(3-7n)}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac1{n^2}(5n+n^2)}{\frac1{n^2}(3-7n)}=-\lim_{x\to\infty}\frac{\frac1{n^2}*5n+\frac1{n^2}*n^2}{\frac1{n^2}*3-\frac1{n^2}*7n}=-\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{5n}{n^2}+\frac{n^2}{n^2}}{\frac3{n^2}-\frac{7n}{n^2}}=-\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{5}{n}+1}{\frac3{n^2}-\frac{7}{n}}=-\frac{\frac{5}{\infty}+1}{\frac3{\infty^2}-\frac{7}{\infty}}=$

$\displaystyle- \frac{0+1}{0-0}=-\frac{1}0=-\infty$

По определению: $\displaystyle\forall\varepsilon0:\exists N(\varepsilon)\in\mathbb{N}:\forall n\geq N\Rightarrow \frac{5n+n^2}{3-7n}0:\frac{5n+n^2}{3-7n}\varepsilon\Leftrightarrow5n+n^23\varepsilon-7n\varepsilon\\\beth N=\frac{-5+7\varepsilon+\sqrt{(5+7\varepsilon)^2+12\varepsilon}}{2}, \because\varepsilon0\, \wedge\, -577\varepsilon\Rightarrow (5+7\varepsilon)^2+12\varepsilon0.\because\forall n\geq N,\frac{5n+n^2}{3-7n}$

ЧТД

$\displaystyle 2)\, \lim_{n \to \infty}\frac{3-2\sqrt n}{1-5\sqrt n}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{\sqrt n}(3-2\sqrt n)}{\frac{1}{\sqrt n}(1-5\sqrt n)}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{3}{\sqrt n}-\frac{2\sqrt n}{\sqrt n}}{\frac{1}{\sqrt n}-\frac{5\sqrt n}{\sqrt n}}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{3}{\sqrt n}-2}{\frac{1}{\sqrt n}-5}=\frac{\frac3{\infty}-2}{\frac1{\infty}-5}=\frac{0-2}{0-5}=\frac{-2}{-5}=\frac25$

По определению:

$\displaystyle\forall\varepsilon0:\exists N(\varepsilon)\in\mathbb{N}:\forall n\geq N\Rightarrow \left |\frac{3-2\sqrt n}{1-5\sqrt n}-\frac25\right|0: \left |\frac{3-2\sqrt n}{1-5\sqrt n}-\frac25\right|$

$\displaystyle-\varepsilon$

$\displaystyle \beth N=\left | {{t=\frac{\varepsilon-1}{-8-5\varepsilon}} \atop {t=\frac{-\varepsilon-1}{-8-5\varepsilon}}} \right.:\\\because\forall n 0 : \sqrt{n} 0, \forall n\geq N, \left |\frac{3-2\sqrt n}{1-5\sqrt n}-\frac25\right |$