Обозначим - очевидно, счетное множество. Заметим, что , при этом . Тогда элементы множества можно отразить на самих себя, и при этом построить взаимно однозначное отображение счетного множества на А
Построим отображение
При этом, очевидно, разные элементы переходят в разные элементы , и при этом, очевидно, для каждого элемента [0;1) существует прообраз в [0;1], т.е. существует и обратное отображение
Обозначим
- очевидно, счетное множество. Заметим, что ![A\subset [0;1],A\subset [0;1)](/tpl/images/1375/5316/67b0e.png)
, при этом ![[0;1]\backslash (A\cup \{1\})=[0;1)\backslash A](/tpl/images/1375/5316/937d3.png)
. Тогда элементы множества 
можно отразить на самих себя, и при этом построить взаимно однозначное отображение счетного множества 
на А
Построим отображение![f:[0;1]\to[0;1)](/tpl/images/1375/5316/c8ba7.png)
При этом, очевидно, разные элементы![[0;1]](/tpl/images/1375/5316/90495.png)
переходят в разные элементы 
, и при этом, очевидно, для каждого элемента [0;1) существует прообраз в [0;1], т.е. существует и обратное отображение ![f^{-1}:[0;1)\to[0;1]](/tpl/images/1375/5316/2de33.png)
А значит
- искомая биекция