Войти Регистрация Спроси ai-bota

в прямоугольном треугольнике АВС с прамым углом С проведены бис. AL и высотa CH. Найдите косинус угла ВАС, если НL//AC

Ответ:

katrin7878

15.10.2020 16:26

Пусть $\angle BAC=\alpha$ , тогда $\angle BAC=\angle BHL=\alpha$ как соответственные.

$\angle CAL=\angle ALH$ как накрест лежащие при $AC \parallel HL$ и секущей . Следовательно, $\triangle AHL$ — равнобедренный, AH=HL .

$\triangle CAH=\triangle HLB$ по катету и острому углу ⇒ AC=HB;~ BL=CH .

Высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое между проекциями катетов:

$HL^2=CL\cdot BL$

По свойству биссектрисы : $\dfrac{CL}{BL}=\dfrac{AC}{AB}$ . Тогда

$HL^2=\dfrac{AC\cdot BL^2}{AB}~~\Rightarrow~~ \left(\dfrac{HL}{BL}\right)^2=\dfrac{AC}{AB}~~\Rightarrow~~ {\rm ctg}^2\alpha=\dfrac{HB}{AH+HB}\\ \\ \\ {\rm ctg}^2\alpha=\dfrac{1}{\frac{AH}{HB}+1}~~\Rightarrow~~{\rm ctg}^2\alpha=\dfrac{1}{\frac{HL}{HB}+1}=\dfrac{1}{\cos \alpha +1}$

Воспользуемся следующими тригонометрическими свойствами

${\rm ctg}^2\alpha=\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\dfrac{\cos^2\alpha}{1-\cos^2\alpha}$

$\dfrac{\cos^2\alpha}{1-\cos^2\alpha}=\dfrac{1}{\cos\alpha+1}~~\Rightarrow~~\dfrac{\cos^2\alpha}{1-\cos\alpha}=1~~\Rightarrow~~ \cos^2\alpha+\cos\alpha-1=0$

Последнее уравнение решается как квадратное уравнение относительно $\cos \alpha$ .

D=1+4=5

$\cos \alpha=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$

Значение $\cos \alpha =\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$ — постороннее, поскольку косинус принимает значения от -1 до 1.

ответ: $\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}.$

в прямоугольном треугольнике АВС с прамым углом С проведены бис. AL и высотa CH. Найдите косинус угл

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

yulyashka01

08.02.2021 05:34

Двое путников одновременно вышли из пункта а а пункт в.первый путник половину времени,затраченного им на переход,шёл со скоростью5км в час,а вторую половину со скоростью4км...

Magster

08.02.2021 05:34

Задана функция f( х) =х в кубе +2х квадрате +7х. найдите значение выражение f(-2)+f(-1)...

PashaPlaytri

08.02.2021 05:34

Вкоробке лежало 6 зелёных шаров и 2 жёлтых. из коробки наугад достали 4 шара. какого цвета могут быть эти шары? решения запиши в таблицу....

CherryGirll

08.02.2021 05:34

Найдите уменьшаемое. - увеличьте 18 на 20...

bagaeva02

08.02.2021 05:34

Как нарисовать цифру на координатной плоскасти что бы были ее координаты...

jjrey252

08.02.2021 05:34

Длина стороны 7м, площадь квадрата 49 квадратных метра, чему равен периметр квадрата...

зулейха4

08.02.2021 05:34

Записать цифрами число 2360 миллионов...

vikshaaa

08.02.2021 05:34

Выполните умножение: 1) 4,5*10/3 2) 1,25*32/45...

yaprettylittle

08.02.2021 05:34

Как решить 1)? : 50=20ц 2)? *500=6км 3)? : 50=6км...

Полина200618

08.02.2021 05:34

Для платных индивидуальных занятий с учащимися требуется собрать группу преподавателей. сведения о преподавателях представлены в таблице. преподаватели предметы стоимость...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку