Скажите когда в уравнениях не нужно ОДЗ. Например при решении уравнения: ОДЗ вроде бы не нужно(просто возвести в квадрат) так ли это? Или же оно нужно всегда, где есть корни(дроби)
Если вы делаете равносильные переходы, не затрагивающие ОДЗ, если здесь не выявить ОДЗ, то действие возведения в четную степень может привести к постороннему корню, вам придется делать проверку, и отсеивать лишние корни.
В Вашем примере ОДЗ
1-2х≥0
13+х≥0
х+4≥0
х≤0.5
х≥-13
х≥-4
ОДЗ есть пересечение этих решений. т.е. х∈[-4;0.5]
Теперь, всегда ли нужно возводить в квадрат? Нет. К примеру, в Вашем задании. используя ОДЗ и дополнительные условия, можно сразу выйти на ответ.
ОДЗ: [-4;0.5]; дополнительные условия - неотрицательность правой и левой частей. т.е. так как правая часть на ОДЗ неотрицательна, то должна быть неотрицательной и левая часть, т.е. √(1-2х)-√(13+х)≥0, это возможно при условии √(1-2х)≥√(13+х), которое выполняется, если 1-2х≥13+х, т.е. -3х≥12; х≤-4; получили, с одной стороны, по ОДЗ х≥-4, с другой, по дополнит. условию х≤-4; получается, что одновременное выполнение этих условий возможно только при х=-4. Это и есть корень уравнения, который получен без возведения в квадрат.
Теперь,
смотрите. возьмем другой пример √х+√(х-1)=4
При равенстве двух выражений возводить в квадрат мы имеем право только при условии НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ чисел справа и слева от знака равенства.
ОДЗ здесь х ≥ 1
Если возведем обе части в квадрат, получим
2х-1+2√(х*(х-1))=16
т.к. подкоренные выражения у вас неотрицательные, вы их можете под один корень подвести. Верно?) Но смотрите, что тогда получите.
01
+ - +
Какая ОДЗ теперь? х∈(-∞;0]∪[1;+∞) Увидели расширение ОДЗ? К ней добавился еще левый кусок (-∞;0].
Поэтому аккуратно надо работать с переходами.
Что касается дробей и корней. Конечно, Вы обращаете внимание, если корень четной степени, то подкоренное выражение неотрицательно, а если корень четной степени в знаменателе, то подкоренное выражение строго больше нуля. Если есть дроби, то знаменатель не равен нулю.. ну.. там свои казусы.
ОДЗ вроде бы не нужно(просто возвести в квадрат) так ли это? Или же оно нужно всегда, где есть корни(дроби)
Если вы делаете равносильные переходы, не затрагивающие ОДЗ, если здесь не выявить ОДЗ, то действие возведения в четную степень может привести к постороннему корню, вам придется делать проверку, и отсеивать лишние корни.
В Вашем примере ОДЗ
1-2х≥0
13+х≥0
х+4≥0
х≤0.5
х≥-13
х≥-4
ОДЗ есть пересечение этих решений. т.е. х∈[-4;0.5]
Теперь, всегда ли нужно возводить в квадрат? Нет. К примеру, в Вашем задании. используя ОДЗ и дополнительные условия, можно сразу выйти на ответ.
ОДЗ: [-4;0.5]; дополнительные условия - неотрицательность правой и левой частей. т.е. так как правая часть на ОДЗ неотрицательна, то должна быть неотрицательной и левая часть, т.е. √(1-2х)-√(13+х)≥0, это возможно при условии √(1-2х)≥√(13+х), которое выполняется, если 1-2х≥13+х, т.е. -3х≥12; х≤-4; получили, с одной стороны, по ОДЗ х≥-4, с другой, по дополнит. условию х≤-4; получается, что одновременное выполнение этих условий возможно только при х=-4. Это и есть корень уравнения, который получен без возведения в квадрат.
Теперь,
смотрите. возьмем другой пример √х+√(х-1)=4
При равенстве двух выражений возводить в квадрат мы имеем право только при условии НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ чисел справа и слева от знака равенства.
ОДЗ здесь х ≥ 1
Если возведем обе части в квадрат, получим
2х-1+2√(х*(х-1))=16
т.к. подкоренные выражения у вас неотрицательные, вы их можете под один корень подвести. Верно?) Но смотрите, что тогда получите.
01
+ - +
Какая ОДЗ теперь? х∈(-∞;0]∪[1;+∞) Увидели расширение ОДЗ? К ней добавился еще левый кусок (-∞;0].
Поэтому аккуратно надо работать с переходами.
Что касается дробей и корней. Конечно, Вы обращаете внимание, если корень четной степени, то подкоренное выражение неотрицательно, а если корень четной степени в знаменателе, то подкоренное выражение строго больше нуля. Если есть дроби, то знаменатель не равен нулю.. ну.. там свои казусы.