Войти Регистрация Спроси ai-bota

Решите два предела, с замены, без использования правила Лопиталя заранее

Решите два предела, с замены, без использования правила Лопиталя заранее

Ответ:

ДериПериКет

15.10.2020 16:10

$x-\frac{\pi }{4}=t$

$x=t+\frac{\pi }{4}$

$x\rightarrow \frac{\pi}{4} ;t\rightarrow 0$

$tgx=tg(t+\frac{\pi}{4})$

$tg2x=tg2(t+\frac{\pi}{4})=tg(2t+\frac{\pi}{2})=-ctg2t$

Обозначим:

$a=\lim_{t \to 0} tg(t+\frac{\pi}{4})^{-ctg2t}$

Логарифмируем:

$lna=ln\lim_{t \to 0} tg(t+\frac{\pi}{4})^{-ctg2t}$

Знак предела и знак непрерывной функции можно менять местами:

$lna=\lim_{t \to 0} lntg(t+\frac{\pi}{4})^{-ctg2t}$

Применяем свойство логарифма степени

$lna=\lim_{t \to 0}(-ctg2x)\cdot lntg(t+\frac{\pi}{4})$

Запишем в виде дроби:

$lna=-\lim_{t \to 0}\frac{ lntg(t+\frac{\pi}{4})}{tg2t}=-\lim_{t \to 0}\frac{2t lntg(t+\frac{\pi}{4})}{(tg2t)2t}=- \lim_{t \to 0}\frac{2t}{tg2t}\cdot\lim_{t \to 0} \frac{ln tg (t+\frac{\pi}{4})}{2t} =\\\\=-1\cdot \lim_{t \to 0} \frac{ln tg (t+\frac{\pi}{4})}{2t} =$

неопределенность (0\0)= ( проще по правилу Лопиталя):

$\lim_{t \to 0} \frac{ln tg (t+\frac{\pi}{4})}{2t} = \lim_{t \to 0}\frac{\frac{1}{tg(t+\frac{\pi}{4})\cdot cos^2(t+\frac{\pi}{4} ) } }{2} =-\frac{1}{4}$

$lna=\lim_{t \to 0} lntg(t+\frac{\pi}{4})^{-ctg2t}=-\frac{1}{4}$

Значит,

$a=\lim_{t \to 0} tg(t+\frac{\pi}{4})^{-ctg2t}=e^{-\frac{1}{4}}=\frac{1}{\sqrt[4]{e}}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Elnur19982

09.01.2021 01:12

у меня СОЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ...

fffffffhhhhhh

14.09.2021 13:13

Найди площадь полной поверхности прямоугольного аквариума (параллелепипеда) если его длина равна 10 см ширина 8 см а высота 9 см...

jasmine9

30.12.2020 21:52

У МЕНЯ ЕСТЬ ТОЛЬКО 2 ЧАСА ЧТОБЫ ЗДАТЬ...

dadada0

01.08.2020 12:38

Дан ряд чисел: 8,13,15,13,19,20 найдите а) среднее арифметическое б) размах в)моду г)медиану даных чисел ...

katya8998

11.07.2022 02:17

Постройте график прямой пропорциональности у = 2,5х....

2йошник

22.07.2021 10:07

у меня СОЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ...

smagzamova2006

02.10.2021 11:56

Бами: 2х + 7y = 1, 4х + 5 = 11....

Зайка20005

11.04.2022 06:40

Заложили 300 м2 бетона всей площади это составило двух третьих от всей площади какова площадь всей площядки[tex] \frac{2}{3} [/tex]...

sashamay2016

02.02.2021 22:33

предположим, что мы разматываем нить вдоль экватора земли, а потом делаем то же самое, но в метре от экватора. представим теперь, что мы разматываем один клубок...

SANH1L

03.06.2020 21:47

На ферме куры составляют 2/3 всех птиц, утки 7/20 от количества кур, остальные 200 штук- гуси. сколько голов птиц на ферме? ...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку