Пусть в числе k цифр. Максимально возможная сумма цифр - это 9k, тогда само число не больше . При этом само число не меньше . Чтобы был хоть какой-то шанс найти k-значное число, удовлетворяющее условию, должно быть выполнено неравенство .
Правая часть неравенства растёт гораздо быстрее левой. Подбором находим, что при k = 4 неравенство выполнено, а при k = 5 уже нет. Докажем, что и при всех больших k неравенство не выполнено, по индукции:
База. k = 5: Переход. Пусть для всех 4 < k < n выполнено . Докажем, что и для k = n это так. Действительно, при n > 4
Сумма цифр принимает значения вплоть до 36. Для сокращения перебора вспомним, что если число делится на 9 (а оно делится, так как делится на 36), то и сумма цифр должна делиться. Остаются 4 варианта:
Сумма цифр 9, тогда само число должно быть . У него сумма цифр 9, подходит.Сумма цифр 18, само число , сумма цифр правильная, подходит.Сумма цифр 27, само число , не подходитСумма цифр 36, само число , не подходит.
324, 648.
Пошаговое объяснение:
Пусть в числе k цифр. Максимально возможная сумма цифр - это 9k, тогда само число не больше
. При этом само число не меньше 
. Чтобы был хоть какой-то шанс найти k-значное число, удовлетворяющее условию, должно быть выполнено неравенство 
.
Правая часть неравенства растёт гораздо быстрее левой. Подбором находим, что при k = 4 неравенство выполнено, а при k = 5 уже нет. Докажем, что и при всех больших k неравенство не выполнено, по индукции:
База. k = 5:Сумма цифр принимает значения вплоть до 36. Для сокращения перебора вспомним, что если число делится на 9 (а оно делится, так как делится на 36), то и сумма цифр должна делиться. Остаются 4 варианта:
Сумма цифр 9, тогда само число должно быть