В треугольной пирамиде три грани взаимно перпендикулярны и их площади равны 2,10 и 11. Найдите площадь четвёртой грани

Пусть стороны треугольника- данных в условии граней  а, b, c, тогда их площади 0.5ав, 0.5bc, 0.5ас, сумма квадратов площадей этих граней

0.25а²в², 0.25b²c², 0.25а²с²=0.25(а²в²+b²c²+а²с²)

Найдем квадрат площади четвертой грани

Квадраты ее сторон а²+b²; а²+с²; b²+с².

По теореме косинусов а²+с²=а²+b²+c²+b²-2*√((а²+b²)*(c²+b²))cosα, где α-угол между двумя сторонами. например, α=∠АВС, тогда

b²+b²=2*√((а²+b²)*(c²+b²))cosα;  b²=√((а²+b²)*(c²+b²))cosα;

cosα=b²/√((а²+b²)*(c²+b²)); cos²α=b⁴/((а²+b²)*(c²+b²)); sin²α=1-cos²α=

1-(b⁴/((а²+b²)*(c²+b²))=(a²c²+a²b²+b²c²+b⁴-b⁴)/((а²+b²)*(c²+b²))=

(a²c²+a²b²+b²c²)/((а²+b²)*(c²+b²))

площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними. Найдем по этой формуле квадрат четвертой грани.

он равен 0.25*(а²+b²)*(c²+b²)*(a²c²+a²b²+b²c²)/((а²+b²)*(c²+b²))=

0.25(a²c²+a²b²+b²c²), поэтому сумма квадратов трех площадей 2²+10²+11²

4+100+121=225, а искомая площадь четвертой грани равна √225=15

ответ 15