Найдите сумму кубов корней уравнения x^3 -8x + 6=0

Дано:

x³ -8x + 6=0

Найти:

x₁³+x₂³+x₃³=?

Применяем теорему Виета для кубического уравнения:

x³ -8x+ 6=0

a= 1; b = 0; c = - 8; d = 6

x₁+x₂+x₃= - b/a=0

x₁·x₂+x₁·x₃+x₂·x₃= c/a= - 8

x₁·x₂·x₃=-d/a=-6

Так как

(x₁+x₂+x₃)³=x₁³+x₂³+x₃³+

+3x²₁x₂+3x₁x²₂+3x²₁x₃+3x₁x²₃+3x²₂x₃+3x₂x²₃+6x₁·x₂·x₃.

Откуда

x₁³+x₂³+x₃³=

=(x₁+x₂+x₃)³-3x₁·x₂(x₁+x₂)-3x₁·x₃(x₁+x₃)-3x₂·x₃(x₂+x₃)-6x₁·x₂·x₃=

=0³-3x₁·x₂(x₁+x₂)-3x₁·x₃(x₁+x₃)-3x₂·x₃(x₂+x₃)-6x₁·x₂·x₃

Осталось найти:

-3x₁·x₂(x₁+x₂)-3x₁·x₃(x₁+x₃)-3x₂·x₃(x₂+x₃)

Так как x₁+x₂+x₃=0⇒  

x₁+x₂=-x₃

x₁+x₃=-x₂

x₂+x₃=- x₁

-3x₁·x₂(x₁+x₂)-3x₁·x₃(x₁+x₃)-3x₂·x₃(x₂+x₃)=-3x₁·x₂·(-x₃)-3x₁·x₃·(-x₂)-3x₂·x₃·(-x₁)=9x₁·x₂·x₃

О т в е т. x₁³+x₂³+x₃³=0³+9x₁·x₂·x₃-6x₁·x₂·x₃=3x₁·x₂·x₃=3·(-6)=-18

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~