Разделив уравнение на (x+1)³*(y-2²), запишем его в виде dy/(y-2)²-dx/(x+1)³=0. Так как d(y-2)=dy и d(x+1)=dx, то окончательно это уравнение можно переписать в виде d(y-2)/(y-2)²-d(x+1)/(x+1)³=0. Интегрируя, находим -1/(y-2)+1/[2*(x+1)²]=C, где C - произвольная постоянная. Используя теперь условие y(0)=0, получаем уравнение 1/2+1/2=С, откуда C=1. Тогда искомый частный интеграл таков: -1/(y-2)+1/[2*(x+1)²]=1, или -1/(y-2)+1/[2*(x+1)²]-1=0.
Проверка: исходное уравнение можно записать в виде dy/dx=y'=(y-2)²/(x+1)³. Дифференцируя найденное решение по x и учитывая, что y есть функция от x, получаем: y'/(y-2)²-1/(x+1)³=0. Отсюда y'=dy/dx=(y-2)²/(x+1)³, то есть мы получили исходное дифференциальное уравнение. А это означает, что решение найдено верно.
ответ: -1/(y-2)+1/[2*(x+1)²]-1=0.
Пошаговое объяснение:
Разделив уравнение на (x+1)³*(y-2²), запишем его в виде dy/(y-2)²-dx/(x+1)³=0. Так как d(y-2)=dy и d(x+1)=dx, то окончательно это уравнение можно переписать в виде d(y-2)/(y-2)²-d(x+1)/(x+1)³=0. Интегрируя, находим -1/(y-2)+1/[2*(x+1)²]=C, где C - произвольная постоянная. Используя теперь условие y(0)=0, получаем уравнение 1/2+1/2=С, откуда C=1. Тогда искомый частный интеграл таков: -1/(y-2)+1/[2*(x+1)²]=1, или -1/(y-2)+1/[2*(x+1)²]-1=0.
Проверка: исходное уравнение можно записать в виде dy/dx=y'=(y-2)²/(x+1)³. Дифференцируя найденное решение по x и учитывая, что y есть функция от x, получаем: y'/(y-2)²-1/(x+1)³=0. Отсюда y'=dy/dx=(y-2)²/(x+1)³, то есть мы получили исходное дифференциальное уравнение. А это означает, что решение найдено верно.