Существует ли многогранник с нечетным числом граней, каждая из которых есть многоугольник с нечетным числом сторон? ​

Нет, не существует.

Посчитаем, сколько ребер в данном многограннике.

Пусть - количество ребер в данном многограннике.

Сразу учтём, что - натуральное число.

Рассмотрим величину , которая равна периметру каждой грани.

Следовательно, должно выполняться следующее соотношение: (так как каждое ребро учитываем дважды).

Но число является нечётным, так как содержит нечётное количество нечётных слагаемых (нечётное количество граней с нечётным количеством сторон, по условию).

То есть из соотношения число - нецелое, что никак не может быть возможным.