На доске написаны 2020 различных натуральных чисел, таких, что сумма любых двух делится на 366. Какое наименьшее количество чисел кратных 366 может быть среди них? Решите надо
Пусть это число не делится на 366 и дает при делении на 366 остаток p1.
( 0<=p1<=365) .
Поскольку, сумма любых двух делится на 366, то если сложить взятое число со всеми остальными, то все эти суммы будут делится на 366.
Таким образом, для остатков от деления на 366 всех чисел верно:
pk+ pn = 366 ( pk+pn<=365*2 <366*2)
k,n- натуральные числа (индексы)
Возьмем первые три остатка:
p1+p2 = 366
p1+p3 = 366
p2+p3 =366
Очевидно, что решение этой системы : p1=p2=p3 =366/2 = 183
Таким образом, очевидно, что : p1=p2=p3...=p2020=183
То есть среди данных 2020 натуральных чисел может быть ни одного числа кратного 366. Но они все должны давать при делении на 366 остаток 183.
В качестве примера, можно взять арифметическую прогрессию с 2020 членами. C первым членом равным 183 и разностью прогрессии 366 . Если хотя бы одно из чисел делится на 366 , тогда и все остальные числа так же должны делится на 366, поскольку сумма числа делящегося на 366 и не делящегося на 366 не делится на 366.
ответ: 0
Пошаговое объяснение:
Возьмем из данных 2020 чисел одно число.
Пусть это число не делится на 366 и дает при делении на 366 остаток p1.
( 0<=p1<=365) .
Поскольку, сумма любых двух делится на 366, то если сложить взятое число со всеми остальными, то все эти суммы будут делится на 366.
Таким образом, для остатков от деления на 366 всех чисел верно:
pk+ pn = 366 ( pk+pn<=365*2 <366*2)
k,n- натуральные числа (индексы)
Возьмем первые три остатка:
p1+p2 = 366
p1+p3 = 366
p2+p3 =366
Очевидно, что решение этой системы : p1=p2=p3 =366/2 = 183
Таким образом, очевидно, что : p1=p2=p3...=p2020=183
То есть среди данных 2020 натуральных чисел может быть ни одного числа кратного 366. Но они все должны давать при делении на 366 остаток 183.
В качестве примера, можно взять арифметическую прогрессию с 2020 членами. C первым членом равным 183 и разностью прогрессии 366 . Если хотя бы одно из чисел делится на 366 , тогда и все остальные числа так же должны делится на 366, поскольку сумма числа делящегося на 366 и не делящегося на 366 не делится на 366.