Пошаговое объяснение:2sin²x-3sinxcosx-8cos² x=0 Это уравнение однородное, второй степени. Разделим обе части уравнения на Cos²x≠0, т.е. х≠π/2+nπ, где n∈Z. Тогда получим уравнение: 2tg²x-3tgx-8=0. Пусть tgx=y ⇒2y²-3y-8=0, дискриминант D= 9+64=73 Значит у₁= (3+√73)/4; у₂=(3-√73)/4 Поэтому tgx=(3±√73)/4 ⇒ x₁=arctg(3+√73)/4+nπ, x₂=arctg(3-√73)/4+nπгде n∈Z .
По условию 0≤х≤π/2, значит отберём корни уравнения с неравенства: 0≤arctg(3±√73)/4+nπ ≤π/2
По определению арктангенса имеем, что -π/2<arctga<π/2
![2sin^2x-3sinxcosx-8cos^2 x=0 найдите корни уравнения, которые принадлежат отрезку [0, π/2].](/tpl/images/3779/2792/71bd7.jpg)
ответ:arctg(3+√73)/4+nπ, arctg(3-√73)/4+nπ,где n∈Z ; arctg(3+√73/)/4
Пошаговое объяснение:2sin²x-3sinxcosx-8cos² x=0 Это уравнение однородное, второй степени. Разделим обе части уравнения на Cos²x≠0, т.е. х≠π/2+nπ, где n∈Z. Тогда получим уравнение: 2tg²x-3tgx-8=0. Пусть tgx=y ⇒2y²-3y-8=0, дискриминант D= 9+64=73 Значит у₁= (3+√73)/4; у₂=(3-√73)/4 Поэтому tgx=(3±√73)/4 ⇒ x₁=arctg(3+√73)/4+nπ, x₂=arctg(3-√73)/4+nπгде n∈Z .
По условию 0≤х≤π/2, значит отберём корни уравнения с неравенства: 0≤arctg(3±√73)/4+nπ ≤π/2
По определению арктангенса имеем, что -π/2<arctga<π/2
1) 0 < arctg(3+√73)/4<π/2
2) arctg(3-√73)/4=-arctg(√73-3)/4⇒ -π/2<arctg(3-√73)/4<0
если n=1, то корни не принадлежат [0;π/2]: 0+π≤arctg(3+√73/)/4+π<π/2+π
-π/2+π<arctg(3-√73)/4<0+π
если n= -1, то корни не принадлежат [0;π/2]: 0-π≤arctg(3+√73/)/4-π<π/2-π
-π/2-π<arctg(3-√73)/4-π <0-π
если n=0, то корни принадлежат [0;π/2]: 0≤arctg(3+√73/)/4+0<π/2
корень arctg(3+√73/)/4 принадлежит [0;π/2]