Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями : y=x²-4x-5; y=0.
* * *
1. Найдём точки пересечения оси абсцисс с графиком.
Для этого необходимо приравнять данные функции и решить полученное квадратное уравнение.
x² - 4x - 5 = 0 ⇒ (x - 5) * (x + 1) = 0 ⇒ x₁ = 5, x₂ = -1.
2. Вычислим определённый интеграл.
В нашем случае определённый интеграл - решение данной задачи.
Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:
∫ᵇₐ f(x) dx = F(b) - F(a) (где b = 5, a = -1).
Так как формулы для решения задачи найдены, остаётся только подставить числовые значения и решить полученный интеграл.
∫⁵₋₁ - x² + 4x + 5 dx = (-(x³/3) + 2x² + 5x)|⁵₋₁ =
= -(5³/3) + 2 * 5² + 5 * 5 - (((-1)³)/3 + 2 * (- 1)² + 5 * (- 1)) =
= - (125/3) + 50 + 25 - (- (8/3)) = - (39 - 75) = 36 ед.кв.
ответ : площадь данной фигуры равна 36 ед.кв.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями : y=x²-4x-5; y=0.
* * *
1. Найдём точки пересечения оси абсцисс с графиком.
Для этого необходимо приравнять данные функции и решить полученное квадратное уравнение.
x² - 4x - 5 = 0 ⇒ (x - 5) * (x + 1) = 0 ⇒ x₁ = 5, x₂ = -1.
2. Вычислим определённый интеграл.
В нашем случае определённый интеграл - решение данной задачи.
Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:
∫ᵇₐ f(x) dx = F(b) - F(a) (где b = 5, a = -1).
Так как формулы для решения задачи найдены, остаётся только подставить числовые значения и решить полученный интеграл.
∫⁵₋₁ - x² + 4x + 5 dx = (-(x³/3) + 2x² + 5x)|⁵₋₁ =
= -(5³/3) + 2 * 5² + 5 * 5 - (((-1)³)/3 + 2 * (- 1)² + 5 * (- 1)) =
= - (125/3) + 50 + 25 - (- (8/3)) = - (39 - 75) = 36 ед.кв.
ответ : площадь данной фигуры равна 36 ед.кв.