Исследовать функцию и построить график
f(x)=x⁴+x²+1
Пошаговое объяснение:
f(x)=x⁴+x²+1 . Область определения х-любое.
1)Промежутки возрастания и убывания.
Найдем производную функции f'(x)=(x⁴+x²+1)'=4х³+2х=2х(2х²+1).
f'(x)=0 , выражение 2х²+1>0 при любом х.
Критическая точка х=0 .
Если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X,
2х(2х²+1)>0 или х>0
----------------------(0)++++++++ , х∈(0;+∞) .
Т.к. функция определена и непрерывна при любом х, то можно включит концы отрезка х∈ [0;+∞)
Если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.
Используя схему выше ⇒ х∈(-∞;0] .
2)Экстремумы.
Точка х₀-точка максимума , если производная меняет свой знак с +на -.
Точка х₀- точка минимума , если производная меняет свой знак с - на +.
у' - +
--------------------------(0)---------------
у убыв min возр
х=0 точка минимума , f(0)=0⁴+0²+1=1
Функция четная f(-x)=(-x)⁴+(-x)²+1=x⁴+x²+1=f(x), график симметричен относительно оси оу.
Доп. точки
х -1,5 -1 -0,5
у 8,31 3 1,31
Исследовать функцию и построить график
f(x)=x⁴+x²+1
Пошаговое объяснение:
f(x)=x⁴+x²+1 . Область определения х-любое.
1)Промежутки возрастания и убывания.
Найдем производную функции f'(x)=(x⁴+x²+1)'=4х³+2х=2х(2х²+1).
f'(x)=0 , выражение 2х²+1>0 при любом х.
Критическая точка х=0 .
Если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X,
2х(2х²+1)>0 или х>0
----------------------(0)++++++++ , х∈(0;+∞) .
Т.к. функция определена и непрерывна при любом х, то можно включит концы отрезка х∈ [0;+∞)
Если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.
Используя схему выше ⇒ х∈(-∞;0] .
2)Экстремумы.
Точка х₀-точка максимума , если производная меняет свой знак с +на -.
Точка х₀- точка минимума , если производная меняет свой знак с - на +.
у' - +
--------------------------(0)---------------
у убыв min возр
х=0 точка минимума , f(0)=0⁴+0²+1=1
Функция четная f(-x)=(-x)⁴+(-x)²+1=x⁴+x²+1=f(x), график симметричен относительно оси оу.
Доп. точки
х -1,5 -1 -0,5
у 8,31 3 1,31