X*((arcctg^2)x)*dx

решить интегралл

ответ: Применяем метод интегрирования по частям и введение под знак дифференциала

Пошаговое объяснение: 1) ∫x·arсtg²xdx= (пусть arсtg²x=U, xdx=dV; тогда 2arctgx dx ·(1/1+x²) = dU, x²/2=dV) =(x²/2)·arсtg²x - (1/2)∫x²2arctgx·dx/(1+x²)= (x²/2)·arсtg²x - ∫x²arctgx dx/ (1+x²) ;                            

2) Вычислим  ∫x²arctgx dx/ (1+x²) =∫(аrctg x -  arctg x/(1+x²))dx =∫аrctg x dx -  ∫arctg x/(1+x²))dx;    

3)∫аrctg x dx=(U=arctg x, dV=dx ⇒dU=1/(1+x²)dx, V=x)  =x·arctg x - ∫xdx(1+x²) =x·arctg x - (1/2)·∫d(x²)/(1+x²) =x·arctg x - (1/2)·ln(x²+1)             4) ∫arctg x/(1+x²))dx = ∫d(arctg x)/(1+x²)    = (1/2)·arctg²x

Итак: ∫x·arсtg²xdx= (x²/2)·arсtg²x - ∫x²arctgx dx/ (1+x²)=(x²/2)·arсtg²x  + (1/2)·ln (x²+1) - x·arctg x  + (1/2)·arctg²x +C