Математика: Доказать, что при любом N ∈ n выполняется равенство

Преобразуем каждое слагаемое:....................................Вместо каждого слагаемого подставим разность дробей: Доказано....

Доказать, что при любом N ∈ n выполняется равенство

Ответ:

9156612755tana

15.10.2020 13:25

$\frac{1}{a(a+1)}+ \frac{1}{(a+1)(a+2)}+ \frac{1}{(a+2)(a+3)}+...+ \frac{1}{(a+n-1)(a+n)}=\frac{n}{a(a+n)}$

Преобразуем каждое слагаемое:

$\frac{1}{a(a+1)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$

$\frac{1}{(a+1)(a+2)}=\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a+2}$

$\frac{1}{(a+2)(a+3)}=\frac{1}{a+2}-\frac{1}{a+3}$

....................................

$\frac{1}{(a+n-1)(a+n)}=\frac{1}{a+n-1}-\frac{1}{a+n}$

Вместо каждого слагаемого подставим разность дробей:

$(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1} )+( \frac{1}{a+1}-\frac{1}{a+2})+( \frac{1}{a+2}-\frac{1}{a+3})+...+( \frac{1}{a+n-1}-\frac{1}{a+n})=\frac{n}{a(a+n)}$

$\frac{1}{a}-(\frac{1}{a+1}+ \frac{1}{a+1})-(\frac{1}{a+2}- \frac{1}{a+2})-(\frac{1}{a+3}-\frac{1}{a+3})-...-(\frac{1}{a+n-1}-\frac{1}{a+n-1} )-\frac{1}{a+n}=\frac{n}{a(a+n)}$

$\frac{1}{a}-0-0-0-...-0-\frac{1}{a+n}=\frac{n}{a(a+n)}$

$\frac{1}{a}-\frac{1}{a+n}=\frac{n}{a(a+n)}$

$\frac{1*(a+n)-1*a}{a(a+n)}=\frac{n}{a(a+n)}$

$\frac{a+n-a}{a(a+n)}=\frac{n}{a(a+n)}$

$\frac{n}{a(a+n)}=\frac{n}{a(a+n)}$

Доказано.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

romanersisyan

22.08.2020 22:05

З насіння соняшника отримують 75% олії. скільки потрібно насіння соняшника щоб отримати 252 кг олії...

Цоніма

22.08.2020 22:05

1. Вычислите: а) 4/13 + 7/13, б) 5/6 + 3/8, в) 1 - 5/8, г) 3/10 - 1/12. 2. Решите уравнение: а) х - 1/7= 4/21, б) ( х + 1/3) - 1/6=7/18. 3. Сравните: а) 7/8 е 7/12,...

lalka20022

30.06.2021 07:47

Напишите формулу зависимости между величинами. а)Между пройденным путем S и временем t,если скорость 70км/ч б)Между площадью и сторонами прямоугольника Выпишите те из...

matyusha47

20.02.2022 23:47

Величина А составляет 30% от величины В.Величина С составляет 40% от величины А. Сколько % величина С составляет от величины В?...

учеба6358

12.02.2023 04:06

ОЧЕНЬ У Пети и Васи было поровну денег. Когда Петя потратил на покупку книг 1200р., а Вася – 600р., то у Васи осталось денег в 5 раз больше, чем у Пети. Сколько денег...

goratkin2005

01.06.2023 11:26

21х +6 = 3х - 3 help me plz...

mala0661371462ozqf21

17.06.2022 11:18

Вычисли 18 см-1 дм ,14см-1дм.,7см+1дм.,5см+1дм...

Reшка

17.06.2022 11:18

1)нок (4,303)=* 2)нок(121212,151515)=* 3)нок(40404,363636)=* 4)нок(242424,181818)=*...

maxsimsto

17.06.2022 11:18

2406: (10 421-9 887)+88 200: 300 действия примера в столбик...

08122005vlad

17.06.2022 11:18

На земном шаре живет 682 0000000. человек каждый четвертый китаец. сколько китайцев на земном шаре?...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку