Егорка задумал четное натуральное число N, и умножил сумму всех его нечетных делителей на сумму всех его четных делителей и прибавил 1. Получился точный квадрат. Докажите, что Егорка ошибся.
Пусть N имеет натуральные делители и их сумма равна A. Пусть, кроме того, где N - нечетное число.
Четные делители числа N имеют вид
Складывая четные делители группами в соответствие с тем, сколько множителей вида 2 в них есть, а потом складывая эти группы, получим
Требуется проверить, может ли
быть полным квадратом, то есть равняться B².
Конечно, такого быть не может, так как если перенести 1 направо, мы получили бы
Выражение, стоящее слева, делится на 2, но не делится на 4, выражение же, стоящее справа, или является нечетным (если B четное), или же делится не только на 4, а даже на 8 (хотя нам это и не нужно) -- ведь из двух последовательных четных чисел одно обязательно делится на 4.
Пусть N имеет натуральные делители
и их сумма равна A. Пусть, кроме того, 
где N - нечетное число.
Четные делители числа N имеют вид
Складывая четные делители группами в соответствие с тем, сколько множителей вида 2 в них есть, а потом складывая эти группы, получим
Требуется проверить, может ли
быть полным квадратом, то есть равняться B².
Конечно, такого быть не может, так как если перенести 1 направо, мы получили бы
Выражение, стоящее слева, делится на 2, но не делится на 4, выражение же, стоящее справа, или является нечетным (если B четное), или же делится не только на 4, а даже на 8 (хотя нам это и не нужно) -- ведь из двух последовательных четных чисел одно обязательно делится на 4.