Добрый день! Давайте решим задачу по нахождению первообразной для данных функций.
а) Для функции f(x) = 4x - 6x^2 + 1, график которой проходит через точку A(0;2), мы должны найти такую функцию F(x), производная которой равна функции f(x).
Для начала возьмем производную функции f(x):
f'(x) = (4 - 12x)
Теперь мы знаем, что производная функции F(x) должна быть равна функции f(x), поэтому мы можем записать следующее:
F'(x) = f(x)
F'(x) = (4 - 12x)
Чтобы найти функцию F(x), возьмем интеграл от обеих частей последнего уравнения:
∫F'(x) dx = ∫(4 - 12x) dx
Интегрируем полученное уравнение:
F(x) = 4x - 6x^2/2 + C
где C - произвольная константа.
Теперь у нас есть общее выражение для первообразной функции f(x), график которой проходит через точку A(0;2).
Подставим координаты точки A(0;2) в найденную первообразную функцию:
2 = 4*0 - 6*0^2/2 + C
2 = 0 - 0 + C
2 = C
Таким образом, константа C равна 2, и окончательное выражение первообразной функции через точку A(0;2) будет:
F(x) = 4x - 6x^2/2 + 2
F(x) = 4x - 3x^2 + 2
б) Для функции f(x) = 1/x^2 - 10x^4 + 3, график которой проходит через точку A(1;5), мы должны снова найти такую функцию F(x), производная которой равна функции f(x).
Найдем производную функции f(x):
f'(x) = -2/x^3 - 40x^3
Теперь мы знаем, что производная функции F(x) должна быть равна функции f(x), поэтому мы можем записать следующее:
F'(x) = f(x)
F'(x) = -2/x^3 - 40x^3
Проинтегрируем это уравнение:
∫F'(x) dx = ∫(-2/x^3 - 40x^3) dx
Для интегрирования первого слагаемого, используем правило интегрирования степени x:
∫(-2/x^3) dx = 2/x^2 + C1
Для интегрирования второго слагаемого, используем правило интегрирования степени x:
∫(-40x^3) dx = -10x^4 + C2
Где C1 и C2 - произвольные константы.
Таким образом, общее выражение первообразной функции f(x) будет:
F(x) = 2/x^2 -10x^4 + C1 + C2
Теперь подставим координаты точки A(1;5) в найденную первообразную функцию:
ответы на фото
...............
а) Для функции f(x) = 4x - 6x^2 + 1, график которой проходит через точку A(0;2), мы должны найти такую функцию F(x), производная которой равна функции f(x).
Для начала возьмем производную функции f(x):
f'(x) = (4 - 12x)
Теперь мы знаем, что производная функции F(x) должна быть равна функции f(x), поэтому мы можем записать следующее:
F'(x) = f(x)
F'(x) = (4 - 12x)
Чтобы найти функцию F(x), возьмем интеграл от обеих частей последнего уравнения:
∫F'(x) dx = ∫(4 - 12x) dx
Интегрируем полученное уравнение:
F(x) = 4x - 6x^2/2 + C
где C - произвольная константа.
Теперь у нас есть общее выражение для первообразной функции f(x), график которой проходит через точку A(0;2).
Подставим координаты точки A(0;2) в найденную первообразную функцию:
2 = 4*0 - 6*0^2/2 + C
2 = 0 - 0 + C
2 = C
Таким образом, константа C равна 2, и окончательное выражение первообразной функции через точку A(0;2) будет:
F(x) = 4x - 6x^2/2 + 2
F(x) = 4x - 3x^2 + 2
б) Для функции f(x) = 1/x^2 - 10x^4 + 3, график которой проходит через точку A(1;5), мы должны снова найти такую функцию F(x), производная которой равна функции f(x).
Найдем производную функции f(x):
f'(x) = -2/x^3 - 40x^3
Теперь мы знаем, что производная функции F(x) должна быть равна функции f(x), поэтому мы можем записать следующее:
F'(x) = f(x)
F'(x) = -2/x^3 - 40x^3
Проинтегрируем это уравнение:
∫F'(x) dx = ∫(-2/x^3 - 40x^3) dx
Для интегрирования первого слагаемого, используем правило интегрирования степени x:
∫(-2/x^3) dx = 2/x^2 + C1
Для интегрирования второго слагаемого, используем правило интегрирования степени x:
∫(-40x^3) dx = -10x^4 + C2
Где C1 и C2 - произвольные константы.
Таким образом, общее выражение первообразной функции f(x) будет:
F(x) = 2/x^2 -10x^4 + C1 + C2
Теперь подставим координаты точки A(1;5) в найденную первообразную функцию:
5 = 2/1^2 - 10*1^4 + C1 + C2
5 = 2 - 10 + C1 + C2
5 = -8 + C1 + C2
C1 + C2 = 13
Таким образом, сумма констант C1 и C2 равна 13, и окончательное выражение первообразной функции через точку A(1;5) будет:
F(x) = 2/x^2 -10x^4 + 13
Надеюсь, это поможет вам понять процесс нахождения первообразной функции через заданные точки! Если у вас есть еще вопросы, обращайтесь!