Которое из утверждений верно?
1)Вокруг любой четырёхугольной пирамиды можно описать конус
2)Радиус окружности, описанной вокруг квадрата, равен половине стороны квадрата
3)Правильную пятиугольную пирамиду можно вписать в конус
4)Радиус шара, вписанного в конус, равен половине высоты конуса
1) Вокруг любой четырехугольной пирамиды можно описать конус.
Чтобы проверить данное утверждение, вспомним, что четырехугольная пирамида имеет основанием четырехугольник. Давайте представим, что наши четырехугольные пирамиды имеют разные формы с разными основаниями.
Возьмем, например, пирамиду с прямоугольным основанием. Как бы мы не пытались, нам не удастся описать вокруг нее конус. Конус должен иметь круглое основание, чтобы можно было его описать. Таким образом, утверждение 1) неверно.
2) Радиус окружности, описанной вокруг квадрата, равен половине стороны квадрата.
Чтобы проверить данное утверждение, вспомним, что радиус окружности - это расстояние от центра окружности до любой точки на ее окружности.
Теперь давайте взглянем на квадрат. У квадрата все стороны равны между собой, поэтому его радиус описанной окружности будет равен расстоянию от центра окружности до любой точки на окружности, а это половина стороны квадрата. Таким образом, утверждение 2) верно.
3) Правильную пятиугольную пирамиду можно вписать в конус.
Чтобы проверить данное утверждение, вспомним, что правильная пятиугольная пирамида имеет пятиугольное основание и все ее боковые ребра и высота имеют одинаковую длину.
Теперь взглянем на конус. Конус имеет круглое основание. Заметим, что пятиугольник не поместится внутри круга, а значит его нельзя вписать в конус. Таким образом, утверждение 3) неверно.
4) Радиус шара, вписанного в конус, равен половине высоты конуса.
Чтобы проверить данное утверждение, вспомним, что радиус шара - это расстояние от центра шара до его поверхности, а высота конуса - это расстояние от вершины конуса до основания.
Заметим, что шар может быть вписан в конус таким образом, что его радиус будет равен половине высоты конуса. Теперь нам нужно доказать, что это всегда так.
Для этого представим себе сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось и основание. Это сечение будет окружностью. Теперь представим себе шар, вписанный в эту окружность. Заметим, что линия, соединяющая центр шара и центр основания конуса, будет перпендикулярна к поверхности шара и будет проходить через его точку касания с окружностью. То есть, эта линия будет проходить через радиус шара и делить его пополам.
Таким образом, утверждение 4) верно.
Таким образом, из четырех предложенных утверждений только 2) и 4) верны.