1. Исследовать функцию y=x^4-8x^2-9 на экстремум и перегиб. Сделать чертеж. 2. найти наибольшее и наименьшее значение функции y=x-(-) на промежутке [1;2] 3. Найти промежутки возрастания и убывания функции y=x^2+x+1. сделать чертёж.
1. Для исследования функции y = x^4 - 8x^2 - 9 на экстремумы и перегибы, мы сначала найдем производные функции и приравняем их к нулю, чтобы найти критические точки.
a) Найдем производную первого порядка:
y' = 4x^3 - 16x
b) Равенство нулю производной:
4x^3 - 16x = 0
Данным уравнением мы находим значения x, при которых производная функции равна нулю и, возможно, места экстремума.
c) Факторизуем выражение следующим образом:
4x(x^2 - 4) = 0
d) Найдем значения x:
4x = 0 -> x = 0
x^2 - 4 = 0 -> (x - 2)(x + 2) = 0 -> x = -2, x = 2
Таким образом, у нас имеются три критические точки: x = -2, x = 0, x = 2.
e) Теперь найдем производную второго порядка:
y'' = 12x^2 - 16
f) Подставим x = -2, 0 и 2 во вторую производную, чтобы определить характер экстремума в критических точках.
y''(-2) = 12(-2)^2 - 16 = 56 > 0. Это означает, что x = -2 - минимум.
y''(0) = 12(0)^2 - 16 = -16 < 0. Это означает, что x = 0 - максимум.
y''(2) = 12(2)^2 - 16 = 56 > 0. Это означает, что x = 2 - минимум.
Таким образом, учитывая значения x и их характер, у нас есть минимум при x = -2 и x = 2, и максимум при x = 0.
g) Для построения чертежа функции, найденных значений экстремумов и перегиба, можно использовать соответствующие значения x и y.
2. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции y = x - (-) на промежутке [1;2], нужно найти значения функции на концах промежутка (x=1 и x=2) и сравнить их.
a) Подставим x=1:
y(1) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2
b) Подставим x=2:
y(2) = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3
Таким образом, на промежутке [1;2] наименьшее значение функции равно 2, а наибольшее значение функции равно 3.
3. Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции y = x^2 + x + 1 и построить чертеж, мы сначала найдем производные функции и определим знаки производных на интервалах.
a) Найдем производную первого порядка:
y' = 2x + 1
b) Равенство нулю производной:
2x + 1 = 0
2x = -1
x = -1/2
Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = -1/2.
c) Разобьем числовую прямую на интервалы: (-∞; -1/2), (-1/2; +∞).
d) Определим знаки производной на каждом интервале, подставляя значения x из каждого интервала в производную функции.
Значение производной в интервале (-∞; -1/2):
y'(-1) = 2(-1) + 1 = -1 < 0. Это означает, что функция убывает на этом промежутке.
Значение производной в интервале (-1/2; +∞):
y'(0) = 2(0) + 1 = 1 > 0. Это означает, что функция возрастает на этом промежутке.
e) Построим чертеж функции, учитывая значения x, промежутки возрастания и убывания, а также критическую точку.
a) Найдем производную первого порядка:
y' = 4x^3 - 16x
b) Равенство нулю производной:
4x^3 - 16x = 0
Данным уравнением мы находим значения x, при которых производная функции равна нулю и, возможно, места экстремума.
c) Факторизуем выражение следующим образом:
4x(x^2 - 4) = 0
d) Найдем значения x:
4x = 0 -> x = 0
x^2 - 4 = 0 -> (x - 2)(x + 2) = 0 -> x = -2, x = 2
Таким образом, у нас имеются три критические точки: x = -2, x = 0, x = 2.
e) Теперь найдем производную второго порядка:
y'' = 12x^2 - 16
f) Подставим x = -2, 0 и 2 во вторую производную, чтобы определить характер экстремума в критических точках.
y''(-2) = 12(-2)^2 - 16 = 56 > 0. Это означает, что x = -2 - минимум.
y''(0) = 12(0)^2 - 16 = -16 < 0. Это означает, что x = 0 - максимум.
y''(2) = 12(2)^2 - 16 = 56 > 0. Это означает, что x = 2 - минимум.
Таким образом, учитывая значения x и их характер, у нас есть минимум при x = -2 и x = 2, и максимум при x = 0.
g) Для построения чертежа функции, найденных значений экстремумов и перегиба, можно использовать соответствующие значения x и y.
2. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции y = x - (-) на промежутке [1;2], нужно найти значения функции на концах промежутка (x=1 и x=2) и сравнить их.
a) Подставим x=1:
y(1) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2
b) Подставим x=2:
y(2) = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3
Таким образом, на промежутке [1;2] наименьшее значение функции равно 2, а наибольшее значение функции равно 3.
3. Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции y = x^2 + x + 1 и построить чертеж, мы сначала найдем производные функции и определим знаки производных на интервалах.
a) Найдем производную первого порядка:
y' = 2x + 1
b) Равенство нулю производной:
2x + 1 = 0
2x = -1
x = -1/2
Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = -1/2.
c) Разобьем числовую прямую на интервалы: (-∞; -1/2), (-1/2; +∞).
d) Определим знаки производной на каждом интервале, подставляя значения x из каждого интервала в производную функции.
Значение производной в интервале (-∞; -1/2):
y'(-1) = 2(-1) + 1 = -1 < 0. Это означает, что функция убывает на этом промежутке.
Значение производной в интервале (-1/2; +∞):
y'(0) = 2(0) + 1 = 1 > 0. Это означает, что функция возрастает на этом промежутке.
e) Построим чертеж функции, учитывая значения x, промежутки возрастания и убывания, а также критическую точку.