Даны три точки: A (1;2;0), B (2;3;0), C (3;4;7). Напишите уравнения: а) прямой AB; б) прямой, проходящей через B и параллельной оси ; в) плоскости, содержащей все три заданные точки.
Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые основные понятия аналитической геометрии.
а) Прямая AB. Для нахождения уравнения прямой, нужно знать координаты двух точек на этой прямой. Используем формулу уравнения прямой, проходящей через две точки:
x - x₁ y - y₁ z - z₁
------- = ------ = ------
x₂ - x₁ y₂ - y₁ z₂ - z₁
Здесь (x, y, z) - координаты произвольной точки на прямой, (x₁, y₁, z₁) - координаты точки A, (x₂, y₂, z₂) - координаты точки B.
Подставляя значения координат точек A и B, получим:
x - 1 y - 2 z - 0
----- = ----- = -----
2 - 1 3 - 2 0 - 0
Упрощая, получаем:
x - 1 y - 2 z
----- = ----- = -----
1 1 1
Полученное уравнение является параметрическим уравнением прямой AB.
б) Прямая, параллельная оси z и проходящая через точку B. Так как эта прямая параллельна оси z, то координата z будет оставаться неизменной для всех точек на этой прямой. Для нахождения уравнения прямой нам нужно знать координаты точки B (2;3;0).
Уравнение будет иметь вид:
z = 0
Полученное уравнение является каноническим уравнением прямой.
в) Плоскость, содержащая все три точки. Найдем уравнение плоскости, используя формулу уравнения плоскости, проходящей через три точки:
Полученное уравнение является уравнением плоскости.
Таким образом, уравнения искомых прямых и плоскости:
а) Прямая AB: x - 1 = y - 2 = z / 7
б) Прямая, параллельная оси z и проходящая через точку B: z = 0
в) Плоскость, содержащая все три точки: x - 1 = y - 2 = z / 7
а) Прямая AB. Для нахождения уравнения прямой, нужно знать координаты двух точек на этой прямой. Используем формулу уравнения прямой, проходящей через две точки:
x - x₁ y - y₁ z - z₁
------- = ------ = ------
x₂ - x₁ y₂ - y₁ z₂ - z₁
Здесь (x, y, z) - координаты произвольной точки на прямой, (x₁, y₁, z₁) - координаты точки A, (x₂, y₂, z₂) - координаты точки B.
Подставляя значения координат точек A и B, получим:
x - 1 y - 2 z - 0
----- = ----- = -----
2 - 1 3 - 2 0 - 0
Упрощая, получаем:
x - 1 y - 2 z
----- = ----- = -----
1 1 1
Полученное уравнение является параметрическим уравнением прямой AB.
б) Прямая, параллельная оси z и проходящая через точку B. Так как эта прямая параллельна оси z, то координата z будет оставаться неизменной для всех точек на этой прямой. Для нахождения уравнения прямой нам нужно знать координаты точки B (2;3;0).
Уравнение будет иметь вид:
z = 0
Полученное уравнение является каноническим уравнением прямой.
в) Плоскость, содержащая все три точки. Найдем уравнение плоскости, используя формулу уравнения плоскости, проходящей через три точки:
|(x - x₁ y - y₁ z - z₁)|
|(x₂ - x₁ y₂ - y₁ z₂ - z₁)|
|(x₃ - x₁ y₃ - y₁ z₃ - z₁)|
Подставляя значения координат точек A, B и C, получим:
|(x - 1 y - 2 z - 0)|
|(2 - 1 3 - 2 0 - 0)|
|(3 - 1 4 - 2 7 - 0)|
Раскрываем определитель:
|(x - 1 y - 2 z)|
|(1 1 0)|
|(2 2 7)|
x - 1 y - 2 z
----- = ----- = -----
1 1 7
Полученное уравнение является уравнением плоскости.
Таким образом, уравнения искомых прямых и плоскости:
а) Прямая AB: x - 1 = y - 2 = z / 7
б) Прямая, параллельная оси z и проходящая через точку B: z = 0
в) Плоскость, содержащая все три точки: x - 1 = y - 2 = z / 7