Найти площадь фигуры, ограниченной: а) параболой у = х^2 - 4х + 3 и осью Ох; б) параболой у = 4x - х^2 и прямой у = 4 - х; в) линиями у = 4x + x^2; y = x; осью Ох. (только вас НЕ НАДО говорить про
Для нахождения площади фигуры ограниченной параболой и осью Ox, нужно найти интеграл от функции параболы по оси x, в пределах значений, на которых парабола находится выше оси Ox.
Для начала, найдем точки пересечения параболы со осью Ox. Для этого приравняем уравнение параболы к нулю:
х^2 - 4х + 3 = 0
Это уравнение квадратного трехчлена. Решим его.
(x - 1)(x - 3) = 0
Отсюда получаем две точки пересечения: х1 = 1 и х2 = 3.
Теперь, чтобы найти площадь фигуры, нужно найти интеграл от функции параболы по оси x в пределах от точки пересечения 1 до точки пересечения 3:
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой у = х^2 - 4х + 3 и осью Ох, равна 17/3.
Аналогичным образом можно решить и пункты б) и в) для нахождения площади фигур, ограниченных соответствующими уравнениями. Не забудьте найти точки пересечения и задать соответствующие пределы интегрирования для каждой фигуры.
a) Парабола у = х^2 - 4х + 3 и ось Ox.
Для нахождения площади фигуры ограниченной параболой и осью Ox, нужно найти интеграл от функции параболы по оси x, в пределах значений, на которых парабола находится выше оси Ox.
Для начала, найдем точки пересечения параболы со осью Ox. Для этого приравняем уравнение параболы к нулю:
х^2 - 4х + 3 = 0
Это уравнение квадратного трехчлена. Решим его.
(x - 1)(x - 3) = 0
Отсюда получаем две точки пересечения: х1 = 1 и х2 = 3.
Теперь, чтобы найти площадь фигуры, нужно найти интеграл от функции параболы по оси x в пределах от точки пересечения 1 до точки пересечения 3:
Площадь = ∫[1,3] (х^2 - 4х + 3) dx
Раскроем интеграл:
Площадь = ∫[1,3] х^2 dx - ∫[1,3] 4х dx + ∫[1,3] 3 dx
Интегрируя каждое слагаемое по отдельности, получим:
Площадь = (х^3/3 - 2х^2 + 3х) [1,3] - 2(3^2 - 1^2)/2 + 3(3-1)
Выполним подстановку границ и посчитаем значение:
Площадь = (3^3/3 - 2(3)^2 + 3(3)) - (1/3 - 2(1) + 3(1)) - 2(9-1)/2 + 3(2)
Площадь = (27/3 - 18 + 9) - (1/3 - 2 + 3) - 2(8)/2 + 6
Площадь = (9 - 18 + 9) - (1/3 - 2 + 3) - 8 + 6
Площадь = 9 - 9 + 9 - 1/3 + 2 - 3 - 8 + 6
Площадь = 15 - 1/3 - 9
Площадь = 15 - 1/3 - 27/3
Площадь = 15 - 28/3
Площадь = 45/3 - 28/3
Площадь = 17/3
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой у = х^2 - 4х + 3 и осью Ох, равна 17/3.
Аналогичным образом можно решить и пункты б) и в) для нахождения площади фигур, ограниченных соответствующими уравнениями. Не забудьте найти точки пересечения и задать соответствующие пределы интегрирования для каждой фигуры.