A) Вася загадал натуральное число, а Петя пытается его угадать, задавая во Верно ли что это число N?». Если Петя не угадал, то Вася обязан к загаданному числу либо прибавить N, либо вычесть из него N так, чтобы число оставалось натуральным (Петя не знает, какой из этих двух вариантов выберет Вася). Может ли Петя действовать так, чтобы через некоторое время гарантированно угадать число, если Вася загадал число от 1 до 5?
b) Вася загадал произвольное натуральное число, а Петя пытается его угадать, задавая во Верно ли что это число N?». Если Петя не угадал, то Вася обязан к загаданному числу прибавить количество натуральных делителей числа N. Может ли Петя действовать так, чтобы через конечное время гарантированно угадать число?
1. Петя угадывает число 1. В этом случае Вася в любом случае не будет прибавлять или вычитать число 1, так как это не изменит загаданное число и не поможет Пете в угадывании.
2. Петя угадывает число 2. В этом случае Вася может прибавить или вычесть число 2, оставив загаданное число равным 4 или 0. В результате Петя не сможет однозначно определить, какое число было загадано.
3. Петя угадывает число 3. В этом случае Вася может прибавить или вычесть число 3, оставив загаданное число равным 6 или 0. Петя также не сможет однозначно определить, какое число было загадано.
4. Петя угадывает число 4. В этом случае Вася может прибавить или вычесть число 4, оставив загаданное число равным 8 или 0. Петя все еще не сможет однозначно определить загаданное число.
5. Петя угадывает число 5. В этом случае Вася может прибавить или вычесть число 5, оставив загаданное число равным 10 или 0. Петя также не сможет однозначно определить, какое число было загадано.
Во всех возможных вариантах Петя не может гарантированно угадать число, так как Вася имеет два различных варианта изменения загаданного числа.
b) Петя может гарантированно угадать число, если Вася загадал произвольное натуральное число. Для этого Пете достаточно последовательно задавать вопросы о числах, удовлетворяющих определенным условиям:
1. Петя начинает с вопроса "Верно ли что это число N?".
2. Если Петя не угадал, он знает, что загаданное число имеет как минимум один натуральный делитель, поскольку Вася обязан был прибавить количество натуральных делителей числа N. Поэтому Петя может задать вопрос "Верно ли, что загаданное число имеет 1 в качестве делителя?".
3. Если Петя снова не угадал, он знает, что загаданное число имеет как минимум два натуральных делителя. Петя может задать вопрос "Верно ли, что загаданное число имеет 2 в качестве делителя?".
4. Петя продолжает задавать вопросы о каждом возможном натуральном делителе загаданного числа, пока не угадает число.
Таким образом, Петя гарантированно угадает произвольное натуральное число, задавая серию вопросов о его натуральных делителях.