В квадрат, сторона которого равна 68 см, вписан другой квадрат, вершины которого являются серединами сторон первого квадрата, в этот квадрат вписан таким же образом другой квадрат, и т. д. (см. рис.).
Найди сумму площадей всех квадратов.
Сумма площадей всех квадратов равна
см2
Пусть сторона вписанного квадрата равна "х" см. Тогда, сторона большего квадрата будет равна 2х см, поскольку вершины вписанного квадрата являются серединами сторон большего квадрата.
Площадь этого квадрата будет равна (2х)^2 = 4х^2 см^2.
Теперь рассмотрим вторую пару квадратов. Сторона вписанного квадрата равна "х" см. Тогда, сторона большего квадрата будет равна 2х см, а сторона еще более большего квадрата будет равна 4х см. Закономерность заключается в увеличении стороны квадрата вдвое с каждой новой парой.
Площадь второго квадрата будет равна (4х)^2 = 16х^2 см^2.
Теперь мы можем записать формулу для площади k-го квадрата: (2^k * х)^2 = (2^(2k) * х^2) см^2.
Суммируя все площади квадратов, получим следующее выражение:
Сумма площадей = х^2 + 4х^2 + 16х^2 + ...
Мы видим геометрическую прогрессию со знаменателем 4х^2. Теперь нам нужно выразить эту сумму:
Сумма площадей = х^2 (1 + 4 + 16 + ...)
Теперь, чтобы найти сумму бесконечно увеличивающейся геометрической прогрессии, мы должны использовать формулу суммы:
Сумма площадей = х^2 * (1 / (1 - 4х^2))
Поскольку наш первоначальный квадрат имеет сторону 68 см, то "х" будет равно половине стороны, то есть 34 см.
Теперь мы можем подставить значение "х" в формулу:
Сумма площадей = 34^2 * (1 / (1 - 4 * 34^2))
= 34^2 * (1 / (1 - 4 * 1156))
= 34^2 * (1 / (1 - 4624))
= 34^2 * (1 / (-46123))
= 34^2 * (-1/46123)
= 34^2 * (-1/46123)
= - 1156 / 46123
Поэтому сумма площадей всех квадратов равна -1156 / 46123 см^2.